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1、2015-2016学年度12月月考五校联考高三年级数学（理）科试题本试卷共4页， 24小题（其中22，23，24是选作题），满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目2选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷和答题卡交回参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高方差，其中为样本的平均数一.选择题：
2、本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，若，则实数的值是( ） A B C或 D或或2.在复平面内，复数对应的点位于( ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( ）A5个 B4个 C3个 D2个4已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为( ）ABCD5.已知函数，在区间上随机取一个实数，若事件“”发生的概率为，则的值为( ）ABC D6.已知实数满足约束条件，则的取值范围是( ）ABCD7函数的部分图象如图所
3、示,则的值分别是( ）开始S=1，k=1ka?S=S+k=k+1输出S结束是否AB C D8某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是，则( ）ABCD9已知数列的首项，数列为等比数列，且，若，则( ） A B C D10.设点为球的球面上三点，为球心球的表面积为，且是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为( ）A12 B12 C. 24 D. 3611.已知的面积为1，为直角顶点，设向量，则的最大值为( ）A1 B2 C. 3 D. 412. 定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( ）A B C D二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13若的
4、展开式中项的系数为，则14函数（）的最大值为15已知函数，若，则实数的取值范围是16在中，则三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值和的表达式.18. （本小题满分12分）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国标准采用世卫组织设定的最宽限值即日均值在微克立方米以下空气质量为一级；在微克立方米微克立方米之间空气质量为二级；在微克立方米以上空气质量为超标某市环保局从市区今年9月每天的监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示(l)根据样本
5、数据估计今年9月份该市区每天的平均值和方差；(2)从所抽样的6天中任意抽取三天，记表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求的分布列和数学期望19（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，平面，点是的中点，平面. （1）求证：点是的中点；（2）若时，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.20（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点，且经过点. （1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相切，过作，垂足为，求证：为定值（其中为坐标原点）. 21（本小题满分12分）已知函数，其中为实数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若不存在，请说明理由，若存在
6、，求出的值并加以证明请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，为的直径，为圆弧的中点，为弦的中点. （1）求证：；（2）求证：. 23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线 （l）求曲线与的交点的直角坐标；（2）设点分别为曲线，上的动点，求的最小值24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知，（1）当时，解不等式；（2）若恒成立，求的取值范围. 2
7、015-2016学年度12月月考五校联考高三年级数学（理）科试题答案一. CDBAD DAACB AA 二.13；14；15；1617解：（1），.5分；（2），即：所以：当时，当时，6分，所以：8分时，；时，.即. 12分18. 解：（1）4分根据样本估计今年9月份该市区每天的平均值为：微克立方米，方差为137。5分（2）从茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则可能取的值为，其中，10分所以的分布列为 ，的数学期望为。12分19证明：（1）取的中点，连结，设1分由作图过程易得：四边形为平行四边形，在中，点是的中点，点是的中点，3分又平面. 平面，且平面平面，又
8、四边形为平行四边形，点是的中点。 6分（2）由（1）知，又平面平面又是边长为的等边三角形，点是的中点，且如图建立空间直角坐标系，设，7分则，由可知：8分由轴平面可得：平面的一个法向量9分设平面的一个法向量为，由 得：令，则， 10分 ，11分所以，平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为12分20解：（1）由题意可设椭圆的左焦点为，则半焦距1分 由椭圆定义可知：所以，所以椭圆的方程为4分（2）当直线的斜率不存在时，的方程为：，或，此时；当直线的斜率为时，的方程为：，或，此时；5分当直线的斜率存在且不为时，设为，其方程可设为（），直线的方程可设为：由消去可得：6分直线与椭圆相切，整理得：（*） 7
9、分由，解得9分所以将（*）式代入：综上所述：，为定值. 12分21解：时， 1分，又，所以切线方程为. 4分当时，则令， 6分再令，当时，在上递减，当时，所以在上递增，所以8分时，则由知当时，在上递增，当时，所以在上递增，；11分综合得：.12分22证明：（1）（略）5分；（2）因为为圆弧的中点，所以，又，则，又因为所以，所以，10分23（l）曲线，消去参数，得：，曲线，联立，消去可得：或（舍去），所以5分（2）曲线，是以为圆心，半径的圆设圆心，点到直线的距离分别为，则： ，所以的最小值为10分24解：（1）当时， ，当时，不等式不成立；当时，由，得；当x2时，不等式必成立综上，不等式的解集为5分（2）因为，当且仅当时取等号所以的最大值为12故k的取值范围是10分资
