《高考数学总复习直通车课件-不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习直通车课件-不等式（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学直通车 不等 式 知识体系 第一节 不等关系与不等式 基础梳理 1 不等式的定义 用不等号 连接两个数或代数式的 式子叫做不等式 2 不等式的基本性质 1 a b b a 2 a b b c a c 3 a b a c b c 4 a b c 0 ac bc 5 a b c 0 ac b c d a c b d 7 a b 0 c d 0 ac bd 8 a b 0 n N n 1 3 实数比较大小的方法 1 a b 0 a b 2 a b 0 a b 3 a b 0 a 至多 小于 b 则acb 若a ba b 0 则 若a b 则a 0 b0 则a b 故为真命题 中 由 得 由 可得
2、 为真命题 中 由a b 得 a b c aa b 0 0 c ab 0 为真命题 中 由 abb a 0 bb 0 c d 0 e 0 求证 题型三 比较大小 例3 建筑学规定 民用住宅的窗户面积必须小于地板面积 但按采光 标准 窗户面积与地板面积的比不应小于10 并且这个比值越大 住宅 的采光条件越好 问 同时增加相等的窗户面积和地板面积 住宅采光条 件是变好了 还是变坏了 请说明理由 证明 c d d 0 又 a b 0 a c b d 0 又 e0 b 0 c 0 又由题设条件可知a b 故有 成立 即 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后 住宅的采光条件变好了 学后反思 实数大小的
3、比较问题常常用 比较法 来解决 比较法 有 作差 比较法 和 作商比较法 两种 可根据代数式的结构特点灵活选用 作差比 较法 的依据是 其过程 可分为三步 作差 变形 判断差的符号 其中关键一步是变形 手 段可有通分 因式分解 配方等 变形的目的是有利于判断符号 因此变 形越彻底 越有利于下一步的判断 作商比较法 的依据是 是把两数的大小比较转化为一代数 式与 1 进行比较 在代数式结构含有幂 根式或绝对值时 可采用此方 法 在用 比较法 时 有时可先将原代数式变形后再作差或作商进行比较 若是选择题还可用特殊值法判断数的大小关系 举一反三 3 设a b是不相等的正数 试 比较A G H Q的大
4、小 解析 a b为不相等的正数 即H G 由 即G A 由 即A Q 综上可知 当a b是不相等的正数时 H G A Q 即A Q 题型四 利用不等式性质求范围 例4 12分 设 1 f 1 2 2 f 1 4 求f 2 的 取值范围 分析 易知1 a b 2 2 a b 4 只要将f 2 4a 2b用a b和a b表 示出来 再利用不等式性质求解4a 2b的取值范围即可 解 方法一 设f 2 mf 1 nf 1 m n为待定系数 则 4a 2b m a b n a b 2 即4a 2b m n a n m b 4 于是得 解得 6 f 2 3f 1 f 1 8 又 1 f 1 2 2 f 1
5、 4 5 3f 1 f 1 10 10 即5 f 2 10 12 方法二 由 得 f 2 4a 2b 3f 1 f 1 9 又 1 f 1 2 2 f 1 4 10 5 3f 1 f 1 10 即5 f 2 10 12 学后反思 由 求 的取值范围 可利用待定系数法解决 即设 用恒等 变形求得p q 再利用不等式的性质求得 的范围 此外 本 例也可用线性规划的方法来求解 举一反三 4 已知 求 的取值范围 解析 得 又 0且x 1 试比 较f x 与g x 的大小 解析 1 当 即 或 也就是x 或0 xg x 10 2009 枣庄模拟 对于任意的实数a a 0 和b 不等式 a b a b
6、a x 1 x 2 恒成立 则实数x的取值范围是 解析 a b a b a b a b 2 a x 1 x 2 2 根据数轴法易得 答案 考点演练 3 当 即 或 也就是 时 f x 或0 xg x 当x 时 f x g x 当1 x 时 f x 2t 故乙先到教室 基础梳理 第二节 一元二次不等式及其解法 1 一元二次不等式的定义 只含有1个未知数 并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式 2 一元二次不等式的解集如下表 判别式 0 0 0 二次函数 的图象 一元二次方程的 根 有两相异实根有两相等实根 没有实数根 的解集 R 的解集 3 分式不等式与一元二次不等式的关系 设a0
7、等价于 x a x b 0 且方程 的根是 所以原不等式的解集是 2 方法一 原不等式即为 其相应方程为 上述方程有两相等实根 结合二次函数 的图象知 原不等式的解集为R 方法二 x R 不等式的解集为R 学后反思 一般地 对于a0时的解题 步骤求解 也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式 再求解 举一反三 1 已知二次函数 当y 0时 有 解不式 解析 因为当y 0时 有 所以 是方程 的两个实数根 由根与系数的关系得 解得 所以不等式 解得 2 x 3 即不等式 的解集为 x 2 x 3 题型二 一元二次不等式的恒成立问题 例2 函数 1 当x R时 f x a恒成立 求a的取值范
8、围 2 当x 2 2 时 f x a恒成立 求a的取值范围 分析 设 恒成立问题转化为g x 0恒 成立问题 1 中x R时 g x 0恒成立 即g x 的图象不在x轴下方 故 0 2 中当x 2 2 时 g x 0恒成立 并不能说明抛物线恒在x 轴上方 应根据函数图像分类讨论 解 1 x R时 有 恒成立 则 即 2 方法一 当x 2 2 时 分如下三 种情况讨论 图1 图2 图3 如图1 当g x 的图象恒在x轴上方时 有 即 6 a 2 如图3 g x 的图象与x轴有交点 但在x 2 时 g x 0 即 即 解得 7 a 6 如图2 g x 的图象与x轴有交点 但在x 2 时 g x 0
9、 即 即 解得 综合 得a 7 2 方法二 只要f x 的最小值大于或等于a即可 当 即 4 a 4时 令 再结合 4 a 4 得 4 a 2 当 即a 4时 令2a 7 a 则a 7 7 a4时 令7 2a a 则a a 由 得 7 a 2 即当a 7 2 时 在x 2 2 时 有f x a恒成立 学后反思 1 对 x R恒成立时 只要求满足 即可 另外 恒成立 恒成立 恒成立 2 区别 f x 0对x R恒成立 与 f x 0对x m n 恒成立 的不 同 f x 0对x m n 恒成立 即f x 在 m n 上的最小值 举一反三 2 不等式 对于x R恒成立 则a的取值范围是 A 2 B
10、 2 C 2 2 D 2 2 答案 D 解析 当a 2时 不等式恒成立 当 时 解得 2 a 2 综上 20 分析 由于字母系数a的影响 不等式可以是一次的也可以是二次 的 在二次的情况下 二次项系数a可正可负 且对应二次方程的两 个根2 的大小也受a的影响 注意对a进行分类讨论 解 1 当a 0时 原不等式可化为x 2 0 其解集为 x x 2 2 当a 原不等式可化为 x 2 x 0 其解集为 x x 2 3 当0 a 1时 有20 其解集为 4 当a 1时 原不等式可化为 其解集为 x x 2 5 当a 1时 有2 原不等式可化为 x 2 x 0 其解集为 学后反思 对于二次项系数含有字
11、母的不等式 一定要注意对二次项系数进 行分类讨论 可分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况 举一反三 3 解关于x的不等式 解析 由判别式与零的关系 分以下三种情况讨论 1 当 0时 即4 4 3 0 解得 a 此时 的解集为R 2 当 0时 即4 4 3 0 解得a 此时 的解为x 3 当 0时 即4 4 3 0 解得a 或a 此时 的解为x 或x 题型四 一元二次不等式的实际应用 例4 12分 国家原计划以2 400元 t的价格收购某种农产品m t 按规定 农户向国家纳税为 每收入100元纳8元 称作税率为8个 百分点 即8 为了减轻农民负担 制定积极的收购政策 根据市 场规律 税率降
12、低x个百分点 收购量能增加2x个百分点 试确定x的 范围 使税率调低后 国家此项税收总收入不低于原计划的78 分析 理解题意 巧设未知数 正确将不等关系转化成不等式是解题关键 解 设税率调低后的税收总收入为y元 1 则 4 依题意 得y 2 400m 8 78 即 2 400m 8 78 6 整理得 解得 44 x 2 9 根据x的实际意义 知0 x 8 所以0 x 2为所求 11 即x的取值范围是 0 2 12 学后反思 解不等式应用题 可分以下几步思考 1 认真审题 抓住问题中的关键词 找准不等关系 2 引进数学符号 用不等式表示不等关系 使其数学化 3 求解不等式 4 还原实际问题 举一
13、反三 4 已知汽车从刹车到停车所滑行的距离 m 与时速 km h 的平方及汽 车总重量成正比例 设某辆卡车不装货物以时速50 km h行驶时 从刹车到 停车走了20 m 如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时 发现前面20 m处 有障碍物 这时为了能在离障碍物5 m以外处停车 最大限制时速应是多少 结果只保留整数部分 设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1 s 解析 设卡车从刹车到停车滑行距离为s m 时速为v km h 卡车总质量为t 则有 k为常数 设卡车空载时的总质量为 则 解得 设卡车的限速为x 千米 小时 x 0 由题意得 解得0 x 23 所以卡车的最大限速为23 千米 小时 例1 解不
14、等式 错解 原不等式化为 解得x 2 故原不等式的解集为 x x 2 错解分析 本题错误的原因在于忽视了原不等式中 具有相等与 不相等的两重性 正解 原不等式等价于 或 解 得x 2 解 由 或x 1 0且 有意义 得x 1或x 2 综上可知 原不等式的解集是 x x 2或x 1 易错警示 例2 不等式2x x 2 3 x 2 的解集为 错解 原不等式等价于2x 3 即x 不等式的解集为 错解分析 本题错误的原因在于不等式两边同时约掉 x 2 导致不等式没有恒等变形 产生丢解情况 正解 原不等式化为2 4x 3x 6 0 即2 x 6 0 2x 3 x 2 0 得 2 x 原不等式解集为 考点
15、演练 10 创新题 不等式 的解集为A 不等式 的解集为B 若 则实数a的取值范围是 解析 A x 2a 又 a 2 答案 2 11 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元 辆 出厂价为1 2万 元 辆 年销售量为1 000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品质量 适 度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应 地提高比例为 0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润y 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 2 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例x应在 什么范围内 解
16、析 1 由题意得y 1 2 1 0 75x 1 1 x 1000 1 0 6x 0 x 1 整理得 2 要保证本年度的年利润比上年度有所增加 必须有 即 解得0 x0在平 面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域 我们把 直线画成虚线以表示区域不包括边界 当我们在坐标系中画不等式 Ax By C 0所表示的平面区域时 此区域应包括边界 则把边界画成实线 2 判定方法 对于直线Ax By C 0同一侧的所有点 把它的坐标 x y 代入Ax By C 所得的 符号都相同 因此只需在此直线的同一侧取某个特殊点 作为测试点 由 的符号即可判断Ax By C 0表示的是直线哪一侧的平面区域 当C 0时 常取原点作为测试点 3 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集 因而 是各个不等式所表示平面区域的公共部分 2 线性规划的有关概念 名称意义 约束条件由变量x y组成的不等式组 线性约束条件由x y的一次不等式 或方程 组成的不等式组 目标函数关于x y的函数解析式 如z 2x 3y等 线性目标函数关于x y的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解 x y
