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1、数学直通车 统计 概率 知识体系 第一节 随机抽样 基础梳理 1 简单随机抽样 1 定义 设一个总体含有N个个体 从中逐个不放回地抽取n个个体作 为样本 n N 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等 就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 2 最常用的简单随机抽样的方法 抽签法和随机数法 2 系统抽样 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本 步骤如下 1 先将总体的N个个体编号 2 确定分段间隔k 对编号进行分段 当 是整数时 取k 3 在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号 k 4 按照一定的规则抽取样本 通常是将 加上间隔k得到第2个个体编号 k 再加k得到第3个个体编号 2k
2、 依次进行下去 直到获取整个样 本 3 分层抽样 1 定义 在抽样时 将总体分成互不交叉的层 然后按照一定的比例 从各层独立地抽取一定数量的个体 将各层取出的个体合在一起作 为样本 这种抽样方法叫做分层抽样 2 分层抽样的应用范围 当总体是由差异明显的几个部分组成时 往往选用分层抽样 4 三种抽样方法比较 类别共同点各自特点相互联系适用范围 简单随机 抽样 抽样过程 中每个个 体被抽到 的机会均 等 从总体中逐个抽 取 总体中的个体 数较少 系统抽样 将总体均匀分成 几部分 按一定 的规则分别在各 部分中抽取 在起始部分 抽样时采用 简单随机抽 样 总体中的个体 数较多 分层抽样 将总体分成几
3、层 分层进行抽取 各层抽样时 采用简单随 机抽样或系 统抽样 总体由差异明 显的几部分组 成 典例分析 题型一 简单随机抽样 例1 某车间工人加工一种轴100件 为了了解这种轴的直径 要从 中抽取10件在同一条件下测量 请设计一种抽样方案 分析 考虑到总体中个体数较少 利用抽签法或随机数法容易获取样本 解 方法一 抽签法 将100件轴编号为1 2 100 并做好大小 形 状相同的号签 分别写上这100个数 将这些号签放在一起 进行均匀搅 拌 接着连续抽取10个号签 与这10个号签号码相同的轴的直径即为所要 抽取的样本 方法二 随机数表法 将100件轴编号为00 01 99 在随机数表 见教 材
4、附表 中选定一个起始位置 如取第21行第1个数开始 选取10个为 68 34 30 13 70 55 74 30 77 40 这10个号码对应的轴的直径即为所要 抽取的样本 学后反思 1 随机数法的步骤 将总体的个体编号 在随机数表 中选择开始数字 读数获取样本号码 随机数法简单易行 它很好地解 决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题 但是当总体中的个体很多 需要的样本容量也很大时 用随机数法抽取样本仍不方便 2 一个抽样试验能否用抽签法 关键要看 制签是否方便 号签 是否容易被搅匀 一般地 总体容量和样本容量都较小时 可用抽签法 举一反三 1 某事业单位有102名职工 从中抽取10人参加体检
5、 试采用简单 随机抽样进行具体实施 解析 将每一个人编一个号由001至102 制作大小相同的号签并写上号码 放入容器中 均匀搅拌 依次抽取10个号码 具有这十个编号的人组成一个样本 题型二 系统抽样 例2 从某厂生产的905辆家用轿车中随机抽取90辆测试某项性能 请合理选择抽样方法进行抽样 并写出抽样过程 分析 由于总体容量较大 因此 采用系统抽样法进行抽样 又因总体 容量不能被样本容量整除 需先剔除5辆家用轿车 使得总体容量能被样 本容量整除 取间隔k 10 然后利用系统抽样的方法进行抽样 解 可用系统抽样法进行抽样 抽样步骤如下 第一步 将905辆轿车用随机方式编号 第二步 从总体中剔除5
6、辆 剔除法可用随机数法 将剩下的900辆轿车 重新编号 分别为001 002 900 并分成90段 第三步 在第一段001 002 010这十个编号中用简单随机抽样法抽出一 个作为起始号码 如006 第四步 把起始号码依次加间隔10 可获得样本 学后反思 在利用系统抽样时 经常遇到总体容量不能被样本容量整除的 情况 则可以先从总体中随机地剔除几个个体 使得总体中剩余的个体数 能被样本容量整除 举一反三 2 某工厂有1 003名工人 从中抽取10人参加体检 试用系 统抽样进行具体实施 解析 1 将每个人编一个号由0001至1003 2 利用随机数表法找到3个号 将这3名工人排除 3 将剩余的1
7、000名工人重新编号0001至1000 4 分段 取间隔 将总体均分为10组 每组含 100个工人 5 从第一段 即从0001号到0100号中随机抽取一个号L 6 按编号将L 100 L 200 L 900 L共10个号选出 这 10个号所对应的工人组成样本 题型三 分层抽样 例3 某单位最近组织了一次健身活动 活动分为登山组和游泳组 且每 个职工至多参加了其中一组 在参加活动的职工中 青年人占42 5 中年人 占47 5 老年人占10 登山组的职工占参加活动总人数的 且该组中 青 年人占50 中年人占40 老年人占10 为了了解各组不同的年龄层次的职 工对本次活动的满意程度 现从参加活动的全
8、体职工中抽取一个容量为200 的样本 1 在游泳组中 试确定青年人 中年人 老年人分别所占的比例 2 在游泳组中 试确定青年人 中年人 老年人分别应抽取的人数 分析 因本题中已给出了青年人 中年人和老年人三类 如何分配他们 之间的比例和他们各自的人数是解决本题的关键 解 采用分层抽样的方法 1 设登山组人数为x 在游泳组中 青年人 中年人 老年人各占比 例分别为a b c 根据题意得 解得b 50 c 10 故a 100 50 10 40 即在游泳组中 青年人 中年人 老年人各 占比例分别为40 50 10 2 在游泳组中 抽取的青年人人数为200 40 60 人 抽取 的中年人人数为200
9、50 75 人 抽取的老年人人数为200 10 15 人 学后反思 分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样 方法 进行分层抽样时应注意以下几点 1 分层抽样中分多少层 如何分层要视具体情况而定 总的原则 是 层内样本的差异要小 两层之间的样本差异要大 且互不重叠 2 为保证每个个体等可能入样 所有层中每个个体被抽到的可能 性应相同 3 在每层抽样时 应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽 样 举一反三 3 某单位有工程师6人 技术员12人 技工18人 要从这些人中 抽取一个容量为n的样本 1 如果采用系统抽样法和分层抽样 法抽取 不用剔除个体 求样本容量n 2 如果样本容量增加
10、一个 则在采用系统抽样时 需要在总体中先剔除一个个体 求 样本容量n 解析 1 总体容量为6 12 18 36 当样本容量是n时 由 题意知 系统抽样的间隔为 分层抽样的比例是 抽取 工程师 6 人 抽取技术员 12 人 抽 取技工 18 人 所以n应是6的倍数 36的约数 即 n 6 12 18 36 2 当样本容量为 n 1 时 总体容量是35 系统抽样的间隔 为 因为 必须是整数 所以n只能取6 即样本容量 n 6 题型四 抽样方法的综合应用 例4 12分 为了考察某校的教学水平 将抽查这个学校高三年级的部 分学生本年度的考试成绩 为了全面反映实际情况 采取以下三种方式进 行抽查 已知该
11、校高三年级共有20个班 并且每个班内的学生已经按随机 方式编好了学号 假定该校每班学生的人数相同 从高三年级20个班 中任意抽取一个班 再从该班中任意抽取20名学生 考察他们的学习成绩 每个班抽取1人 共计20人 考察这20名学生的成绩 把学生按成 绩分成优秀 良好 普通三个级别 从其中共抽取100名学生进行考察 已知该校高三学生共1 000人 若按成绩分 其中优秀生共150人 良好生 共600人 普通生共250人 根据上面的叙述 试回答下列问题 1 上面三种抽取方式的总体 个体 样本分别是什么 每一种抽取方 式抽取的样本中 样本容量分别是多少 2 上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方
12、法 3 试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤 分析 本题主要考查基本概念和三种抽样方法的联系与区别 准确把握三 种抽样方法的概念与特点是解此题的关键 另外要注意叙述的完整性和条 理性 解 1 这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试 成绩 个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩 其中第一种抽 取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩 样本容量为20 第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩 样本容 量为20 第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成 绩 样本容量为100 3 2 三种抽取方式中 第一种采用的是简单随机抽样法 第二
13、种采用 的是系统抽样法和简单随机抽样法 第三种采用的是分层抽样法和简单 随机抽样法 6 3 第一种方式抽样的步骤 第一步 用抽签法在这20个班中任意抽 取一个班 第二步 从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名 学生 考察其考试成绩 7 第二种方式抽样的步骤如下 第一步 用简单随机抽样法从第一个班中 任意抽取一名学生 记其学号为a 第二步 在其余的19个班中 选取学 号为a的学生 加上第一个班中的一名学生 共计20人 9 第三种方式抽样的步骤如下 第一步 分层 因为若按成绩分 其中 优秀生共150人 良好生共600人 普通生共250人 所以在抽取样本 时 应该把全体学生分成三个层次 第二
14、步 确定各个层次抽取的人 数 因为样本容量与总体的个数之比为100 1 000 1 10 所以在每个 层次中抽取的个体数依次为 即15 60 25 第三步 按层 次分别抽取 在优秀生中用简单随机抽样法抽15人 在良好生中用简 单随机抽样法抽取60人 在普通生中用简单随机抽样法抽取25人 12 学后反思 本题主要考查数理统计中一些基本的概念和方法 做这种题目 时 应该注意叙述的完整性和条理性 举一反三 4 判断下面这几个抽样调查选取样本的方法是否合适 1 一啤酒厂为了了解其产品的质量情况 在其生产流水线上 每隔1 000瓶选取一瓶检验其质量 2 一手表厂欲了解6 11岁少年儿童带手表的比例 周末
15、来 到一家业余艺术学校调查200名在那里学习的学生 3 为调查全校学生对购买正版书籍 唱片和软件的支持率 用简单随机抽样方法在全校所有的班级中抽取8个班级 调 查这8个班级中所有学生对购买正版书籍 唱片和软件的支持 率 4 为调查一个省的环境污染情况 调查省会城市的环境污染 情况 解析 1 合适 2 不合适 这所学校的200名学生不能代表全部 的6 11岁儿童 3 合适 4 不合适 调查的城市为省会 不满足随机抽样的随机性和机会均等性原理 易错警示 例 下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样 并说明理由 1 从无限多个个体中抽取100个个体作样本 2 盒子里共有80个零件 从中选出5个零件进行
16、质量检查 在抽样操 作时 从中任意拿出一个零件进行质量检验后 再把它放回盒子中 错解 1 是简单随机抽样 因为样本是随机任意抽取的 2 是简单随机抽样 因为就是从80个零件中任取5个零件的抽样 错解分析 上述两问题不具有简单随机抽样的特点 不放回 有限性 正解 1 不是简单随机抽样 由于被抽取样本的总体的个数不是有 限的而是无限的 2 不是简单随机抽样 由于它是放回抽样 而简单随机抽样的前提 是不放回抽样 考点演练 10 2010 茂名模拟 一个总体中有100个个体 随机编号0 1 2 99 依编号顺序平均分成10个小组 组号依次为1 2 3 10 现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本 规定 如果在第一组随机抽取的号码为t 则在第k组中抽取的号码个位 数字与t k的个位数字相同 若t 7 则在第8组中抽取的号码应 是 解析 t k 7 8 15 第8组中75的个位数字与t k的个位数字相同 所以为75 答案 75 11 某校有在校高中学生1 600人 其中高一学生520人 高二学生500 人 高三学生580人 如果想抽查其中的80人来调查学生的消费情况 考 虑到学生的年级高低消费情
