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1、湖南省岳阳市第一中学2020学年高二上学期期中考试数学试卷岳阳市一中2020年下期高二期中考试数学试卷时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知全集,集合,则为BCD命题“若=,则tan=1”的逆否命题是若,则tan1B.若=,则tan1C.若tan1,则D.若tan1,则=若的平均数为，则,的平均数为()A. BC D.4.已知变量满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 3 B.2 C. 0 D.-4 5.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角 形，且直角边长为1，那么这个几何体的体
2、积为（ ） A.1 B. C. D. 6.下列命题中正确的是( )A. B. C. D.7.“”是“函数y=sin(x)为偶函数的”( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是A B CD在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=2B4C5D10表示不超过的最大整数（如2=2, =1），对于给定的nN*,定义，,则当时，函数的值域是( ) A. B. C. D.（限理科生做）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合
3、：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间例如，当时，现有如下结论：设函数的定义域为D，若对于任何实数b，存在，使得，则；若函数，则有最大值和最小值；若函数，的定义域相同，且，则；若函数有最大值，则其中正确的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上11.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2，则抛物线的方程是_ .恒成立，则实数m的最大值为 13.下列命题： 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”;若命题：，则：; 若为真命题，则，均为真命题; “”是“”的充分不必要条件.其中正确命题的序号有_ .14.已知：，直线和曲线有两个不
4、同的交点，它们围成的平面区域为，向区域随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为如右图所示的三角形数阵叫“调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为,每个数是它下一行左右相邻两数的和如,，则第行第个数（从左往右数）为_第行第个数（从左往右数）为_16、（本小题满分12分）已知函数， （1）求的值；（2）设求的值17、（本小题满分12分）已知命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围18、（本小题满分12分）在四棱锥中，底面，,是的中点(1)证明：；(2)证明：平面；(3)（限理科生做,文科生不做）求二面角的余弦值19、（本小题满分13分）如下图，
5、互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园，要求点在射线上，点在射线上，且直线过点，其中米，米. 记三角形花园的面积为.(1）问：取何值时，取得最小值，并求出最小值；(2）若不超过1764平方米，求长的取值范围.20、（本小题满分13分）设椭圆的左、右顶点分别为，离心率作轴，垂足为，点在的延长线上，且的轨迹的方程；（3）设直线（点不同于）与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论的前n项和为Sn，q为非零常数.已知对任意正整数n, m，当时总成立.(1）求证：数列是等比数列； (2）若互不相等的正整数n, m, k成等差数列，比较 的大小
6、；(3）（限理科生做,文科生不做）若正整数n, m, k成等差数列，求证：. 2020年高二期中考试数学参考答案一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分 12. 4 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）解：（1） （6分） （2） （12分）17(12分)解: 是的充分不必要条件说明对应的集合是对应集合的子集而 对应集合是集合；（4分）而 因式分解得到： 即有： 也就是命题对应的集合为： （7分） 要满足要求，则须： （12分）18.（12分）（1）证明：底面，.又面，面，.（4分）（2）证明：,是等边三角形，又是 的
7、中点，又由（1）可知，面（8分）（3）解：由题可知 两两垂直,如图建立空间直角坐标系,设，则.设面的一个法向量为， 即 取则，即设面的一个法向量为， 即 取则即， 由图可知二面角的余弦值为（12分）19（13分）（1）设米（），则.因为,所以，即.所以 （4分），当且仅当时取等号.所以，的最小值等于1440平方米.（7分）(2）由得.解得.所以，长的取值范围是. （13分）20.（13分）解：， ， 所以椭圆的方程为，由题意得，即， 又，代入得，即的轨迹的方程为，点的坐标为，三点共线，而，则， 点的坐标为，点的坐标为， 直线的斜率为， 而， ， 直线的方程为，化简得，圆心到直线的距离， 所以直
8、线与圆相切总成立所以当2时：，即，且也适合，又0，故当2时：（非零常数），即是等比数列（4分）(2）若，则 所以 若，则， 所以 若 若 （8分）(3）若，则所以 若，则， 所以 又因为所以综上可知：若正整数n, m, k成等差数列，不等式 总成立(当且仅当时取“”) （13分）16.(8分)解: 是的充分不必要条件说明对应的集合是对应集合的子集而 对应集合是集合；（2分）而 因式分解得到： 即有： 也就是命题对应的集合为： （4分） 要满足要求，则须： （8分）18.（9分）（1）证明：底面，.又面，面，.（3分）（2）证明：,是等边三角形，又是 的中点，又由（1）可知， 面（6分）又底面，
9、又面平面.（3）解：由题可知 两两垂直,如图建立空间直角坐标系,设，则.设面的一个法向量为， 即 取则，即设面的一个法向量为， 即 取则即， 由图可知二面角的余弦值为（9分）20.（10分）解：， ， 所以椭圆的方程为，由题意得，即， 又，代入得，即的轨迹的方程为，点的坐标为，三点共线，而，则， 点的坐标为，点的坐标为， 直线的斜率为， 而， 直线的方程为，化简得，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切（2）拟在半圆形区域内设计一条界线，并在界线上栽种名贵树木，将休闲广场分为两部分；考虑到市民休闲的方便，是否能确定这样一条界线，使位于界线一侧的点沿CA到C较近，而另一侧的点沿CB到C较近？如能，
10、请确定这条界线；如不能，请说理由20（本小题满分1 3分）为了改善人居环境，市政府计划在如图所示的一块空地上修建公园，设计将上面的半网形区域建为休闲广场，将下面的三角形区域建为人工湖，同时修建从居民区C到点A，B的直线道路；经测量得AC=6，CB=10，CAB=90 （1）拟在人工湖中修建一座湖心亭，为了达到最佳观赏效果，要求湖心亭到三条湖岸的距离相等，请确定湖心亭的具体位置；（2）拟在半网形区域内设计一条界线，并在界线上栽种名贵树木，将休闲广场分为两部分；考虑到市民休闲的方便，是否能确定这样一条界线，使位于界线一侧的点沿CA到C较近，而另一侧的点沿CB到C较近？如能，请确定这条界线；如不能，
11、请说理由9、（肇庆市2020届高三上学期期末）已知两圆的圆心分别为，为一个动点，且）求动点的轨迹的方程；是否存在过点的直线l与轨迹交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.和 （2分） 根据椭圆的定义可知，动点的轨迹和为焦点，长轴长为的椭圆， （4分） 椭圆的方程为，即动点的轨迹的方程 (6分)（2）当直线l的斜率不存在时，易知点在椭圆的外部，直线l与椭圆无交点，直线l（分）直线l斜率存在，设为直线l的方程为 （分）由方程组 （分）依题意 （分）当时，设交点，CD的中点为， ，则 （分），必须，即 （分），即 或，无解 （分）所以不存在直线，使得综上所述，不存在直线l，使得（分）zy xEPDCBAzy xEPDCBAEPDCBA左视图俯视图主视图
