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1、湖南省岳阳市第一中学2020学年高二上学期期中考试数学试卷岳阳市一中2020年下期高二期中考试数学试卷时量:120分钟 分值:150分 一、选择题:本大题共小题,每小题分,共分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的已知全集,集合,则为BCD命题“若=,则tan=1”的逆否命题是若,则tan1B.若=,则tan1C.若tan1,则D.若tan1,则=若的平均数为,则,的平均数为()A. BC D.4.已知变量满足约束条件,则的最大值是( )A. 3 B.2 C. 0 D.-4 5.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角 形,且直角边长为1,那么这个几何体的体
2、积为( ) A.1 B. C. D. 6.下列命题中正确的是( )A. B. C. D.7.“”是“函数y=sin(x)为偶函数的”( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知是双曲线的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是A B CD在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=2B4C5D10表示不超过的最大整数(如2=2, =1),对于给定的nN*,定义,,则当时,函数的值域是( ) A. B. C. D.(限理科生做)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数组成的集合
3、:对于函数,存在一个正数M,使得函数的值域包含于区间例如,当时,现有如下结论:设函数的定义域为D,若对于任何实数b,存在,使得,则;若函数,则有最大值和最小值;若函数,的定义域相同,且,则;若函数有最大值,则其中正确的是( )A. B. C. D. 二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在横线上11.设抛物线的顶点在原点,准线方程为2,则抛物线的方程是_ .恒成立,则实数m的最大值为 13.下列命题: 命题“若,则”的逆否命题是“若,则”;若命题:,则:; 若为真命题,则,均为真命题; “”是“”的充分不必要条件.其中正确命题的序号有_ .14.已知:,直线和曲线有两个不
4、同的交点,它们围成的平面区域为,向区域随机投一点,点落在区域内的概率为,若,则实数的取值范围为如右图所示的三角形数阵叫“调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为,每个数是它下一行左右相邻两数的和如,,则第行第个数(从左往右数)为_第行第个数(从左往右数)为_16、(本小题满分12分)已知函数, (1)求的值;(2)设求的值17、(本小题满分12分)已知命题,命题,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围18、(本小题满分12分)在四棱锥中,底面,,是的中点(1)证明:;(2)证明:平面;(3)(限理科生做,文科生不做)求二面角的余弦值19、(本小题满分13分)如下图,
5、互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园,要求点在射线上,点在射线上,且直线过点,其中米,米. 记三角形花园的面积为.(1)问:取何值时,取得最小值,并求出最小值;(2)若不超过1764平方米,求长的取值范围.20、(本小题满分13分)设椭圆的左、右顶点分别为,离心率作轴,垂足为,点在的延长线上,且的轨迹的方程;(3)设直线(点不同于)与直线交于点,为线段的中点,试判断直线与曲线的位置关系,并证明你的结论的前n项和为Sn,q为非零常数.已知对任意正整数n, m,当时总成立.(1)求证:数列是等比数列; (2)若互不相等的正整数n, m, k成等差数列,比较 的大小
6、;(3)(限理科生做,文科生不做)若正整数n, m, k成等差数列,求证:. 2020年高二期中考试数学参考答案一、选择题:本大题共小题,每小题分,共分 12. 4 13. 14. 15. 三、解答题:本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16(12分)解:(1) (6分) (2) (12分)17(12分)解: 是的充分不必要条件说明对应的集合是对应集合的子集而 对应集合是集合;(4分)而 因式分解得到: 即有: 也就是命题对应的集合为: (7分) 要满足要求,则须: (12分)18.(12分)(1)证明:底面,.又面,面,.(4分)(2)证明:,是等边三角形,又是 的
7、中点,又由(1)可知,面(8分)(3)解:由题可知 两两垂直,如图建立空间直角坐标系,设,则.设面的一个法向量为, 即 取则,即设面的一个法向量为, 即 取则即, 由图可知二面角的余弦值为(12分)19(13分)(1)设米(),则.因为,所以,即.所以 (4分),当且仅当时取等号.所以,的最小值等于1440平方米.(7分)(2)由得.解得.所以,长的取值范围是. (13分)20.(13分)解:, , 所以椭圆的方程为,由题意得,即, 又,代入得,即的轨迹的方程为,点的坐标为,三点共线,而,则, 点的坐标为,点的坐标为, 直线的斜率为, 而, , 直线的方程为,化简得,圆心到直线的距离, 所以直
8、线与圆相切总成立所以当2时:,即,且也适合,又0,故当2时:(非零常数),即是等比数列(4分)(2)若,则 所以 若,则, 所以 若 若 (8分)(3)若,则所以 若,则, 所以 又因为所以综上可知:若正整数n, m, k成等差数列,不等式 总成立(当且仅当时取“”) (13分)16.(8分)解: 是的充分不必要条件说明对应的集合是对应集合的子集而 对应集合是集合;(2分)而 因式分解得到: 即有: 也就是命题对应的集合为: (4分) 要满足要求,则须: (8分)18.(9分)(1)证明:底面,.又面,面,.(3分)(2)证明:,是等边三角形,又是 的中点,又由(1)可知, 面(6分)又底面,
9、又面平面.(3)解:由题可知 两两垂直,如图建立空间直角坐标系,设,则.设面的一个法向量为, 即 取则,即设面的一个法向量为, 即 取则即, 由图可知二面角的余弦值为(9分)20.(10分)解:, , 所以椭圆的方程为,由题意得,即, 又,代入得,即的轨迹的方程为,点的坐标为,三点共线,而,则, 点的坐标为,点的坐标为, 直线的斜率为, 而, 直线的方程为,化简得,圆心到直线的距离, 所以直线与圆相切(2)拟在半圆形区域内设计一条界线,并在界线上栽种名贵树木,将休闲广场分为两部分;考虑到市民休闲的方便,是否能确定这样一条界线,使位于界线一侧的点沿CA到C较近,而另一侧的点沿CB到C较近?如能,
10、请确定这条界线;如不能,请说理由20(本小题满分1 3分)为了改善人居环境,市政府计划在如图所示的一块空地上修建公园,设计将上面的半网形区域建为休闲广场,将下面的三角形区域建为人工湖,同时修建从居民区C到点A,B的直线道路;经测量得AC=6,CB=10,CAB=90 (1)拟在人工湖中修建一座湖心亭,为了达到最佳观赏效果,要求湖心亭到三条湖岸的距离相等,请确定湖心亭的具体位置;(2)拟在半网形区域内设计一条界线,并在界线上栽种名贵树木,将休闲广场分为两部分;考虑到市民休闲的方便,是否能确定这样一条界线,使位于界线一侧的点沿CA到C较近,而另一侧的点沿CB到C较近?如能,请确定这条界线;如不能,
11、请说理由9、(肇庆市2020届高三上学期期末)已知两圆的圆心分别为,为一个动点,且)求动点的轨迹的方程;是否存在过点的直线l与轨迹交于不同的两点C、D,使得?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.和 (2分) 根据椭圆的定义可知,动点的轨迹和为焦点,长轴长为的椭圆, (4分) 椭圆的方程为,即动点的轨迹的方程 (6分)(2)当直线l的斜率不存在时,易知点在椭圆的外部,直线l与椭圆无交点,直线l(分)直线l斜率存在,设为直线l的方程为 (分)由方程组 (分)依题意 (分)当时,设交点,CD的中点为, ,则 (分),必须,即 (分),即 或,无解 (分)所以不存在直线,使得综上所述,不存在直线l,使得(分)zy xEPDCBAzy xEPDCBAEPDCBA左视图俯视图主视图