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1、湖南省株洲市第二中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试卷 Word版含答案株洲市二中2020届高三第一次月考试卷数学（理科）试题卷时量：120分钟 分值：150分第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集U0，1，2且2，则集合A的真子集共有（ ）A3个 B4个 C5个 D6个2命题：，则是（ ）A. B.C. D.3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )A. B. C. D.4等差数列中，则为（
2、）A13 B12 C11 D105设f（x）2x3（xR），则在区间，上随机取一个实数x，使f（x）0的概率为A B C D6已知函数的值域为,则实数的取值范围是A B C D 7观察下列各式：=3125，=15625，=78125， ，则的末四位数字为（ ）A3125 B5625 C0625 D81258如图，南北方向的公路 ，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北300方向km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路和到A地距离相等现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、M到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元A.（2+）a B
3、.2（+1）a C.5a D.6a9如图，在5个并排的正方形图案中作出一个（），则（ ）A， B， C， D，10若正数满足则的最小值是（ ）A. B. C. D.11如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则( )A BC D12椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是（ ）A B C D 第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的面积等于 .14已知分别是与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量，若则+_15设，是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小
4、的一个向量的序号 _16已知函数，若对任意的，均有，则实数的取值范围是 中，（1）求的值；（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（3）求数列的前n项和.18（本题满分12分）在四棱锥中， 平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（）求证：平面； （）求二面角的余弦值19（本题满分12分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差（单位：分）与物理偏差（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学
5、偏差2015133251018物理偏差6.53.53.51.50.50.52.53.5（1）若与之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩参考数据：附：回归方程中（本小题满分1分）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线：上运动，过点与垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点求动点的轨迹的方程；过中轨迹上的点作两条直线分别与轨迹相交于，两点试探究：当直线，的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.（）求函数的单调递减区间；（）若关于x
6、的不等式恒成立，求整数的最小值；（）若正实数满足，证明.选做题22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，四边形ACED是圆内接四边形，AD、CE的延长线交于点B，且ADDE，AB2AC（）求证：BE2AD；（）当AC2，BC4时，求AD的长23(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于,求的值选修45：不等式选讲，且，若恒成立，（）的最小值；（）对任意的恒成立，求实数的取值范围。株洲市二中2020届高
7、三第一次月考数 学答 卷题次1234567答案13 ；14 ；1 1617(分) 18(分) (分) (分) 1A【解析】试题分析：由得故A的真子集个数=，选A.考点：集合的运算2B【解析】试题分析：命题是全称命题，对全称命题的否定为特称命题，并且将不等式加以否定，即改为，因此B正确考点：全称命题的否定3B【解析】试题分析：三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选.考点：分层抽样.4C【解析】试题分析：在等差数列中，由等差数列的通项公式及知，解方程组得，所以数列的通项公式为所以故应选C5B【解析】由得，所以f（x）0的概率为6B【解析】试题分析：当时,所以要使
8、的的值域为,需满足在时的值域中包含所有负数,所以 ,解得,故选B.考点：分段函数7D【解析】试题分析：周期为4，所以与后四位相同，都为考点：归纳推理8C【解析】试题分析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可因B地在A地东偏北300方向km处，B到点A的水平距离为3（km），B到直线l距离为：3+2=5（km），那么修建这两条公路的总费用最低为：5a（万元）故选C考点：抛物线方程的应用.9C.【解析】试题分析：若或，显然，若，则有，根据对称性可知，若，若，则有，又，同理根据对称性有.考点：三角恒等变形的
9、运用.考点：等差数列10D.【解析】试题分析:由题知正数满足，所以，故选D.考点：基本不等式.11D【解析】试题分析：设点A在上的射影为点C，点B在上的射影为点D，则则，因为，所以,即又因为，所以考点：直线在平面内所成射影和直线与平面所成的角.12B【解析】试题分析：设,直线,的斜率的分别为,则,因为,所以,故选B考点：1椭圆；2直线的斜率12A【解析】试题分析：分成两类：A和C同色时有43336（种）；A和C不同色时432248（种），一共有364884（种）考点：计数原理二 13【解析】试题分析：因为，即，所以由余弦定理得，所以，又，即。所以。考点：余弦定理；平面向量的数量积；三角形的面积
10、公式。点评：我们要注意余弦定理的形式，一般情况下，有平方关系多想余弦定理。属于基础题型。14【解析】试题分析：若,所以 ，解得，所以考点：空间向量的平行15或.【解析】试题分析：设，且，数列是首项为，公差为的等差数列，数列是首项为，公差为的等差数列，可知当或时，取到最小值.考点：1.向量的坐标运算；2.等差数列的通项公式；3.二次函数的性质.16【解析】试题分析：由题意，当时，由于而，因此当时，不存在最小值，故满足题意的只能是，此时，是减函数，当时，当时，所以，.考点：函数的最值，不等式恒成立问题.三17(1)；(2)证明详见解析，；（3）.【解析】试题分析：(1)赋值:令；（2）涉及到等差数
11、列，等比数列的证明问题，只需按照定义证明即可，利用等比数列的定义证明，利用等比数列通项公式可求出的通项公式，从而求出；（3）根据通项公式求，常用方法有裂项相消法，错位相减法，分组求和法，奇偶并项求和法.试题解析：（1）令，令,.(2),数列是首项为4，公比为2的等比数列，.（3）数列的通项公式，.考点：1、赋值法；2、等比数列的定义；3、分组求和法求数列前项和.18（）见解析；（）.【解析】试题分析：（1）根据条件得出,即可说明，进而证明直线与平面平行；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何问题转化为向量问题.其中灵活建系是解题的关键.（3）求出平面与
12、平面的法向量，计算法向量夹角的余弦值即可得到二面角的余弦值.试题解析：（）在正三角形中， 在中，因为为中点，所以，所以，所以 在等腰直角三角形中，所以，所以. 又平面，平面，所以平面.（）因为，所以，分别以为轴,轴,轴建立如图的空间直角坐标系，所以由（）可知，为平面的法向量， 设平面的一个法向量为,则，即，令,则平面的一个法向量为 设二面角的大小为， 则,所以二面角余弦值为.考点：线面平行的判断及其二面角.19（1）；（2）94分【解析】试题分析：(1)回归分析是针对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有散点图大致呈线性时，求出的回归方程才能有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义；（2）正确理解计算和的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键；（3)根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值，只有具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.试题解析：解：（1）由题意，所以，故线性回归方程为（2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：而数学偏差为128-120=8， 11分 ， 12分 解得， 13分所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分
