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1、数学（文科）试卷2007.4（考试时间120分钟，满分150分）第卷（选择题，共40分）1设集合U = R，集合M = x| x 0, N = x | x2 x，则下列关系中正确的是（ ）ABCD2在ABC中，sin 2A = sin 2B是A = B的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知a、b是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，给出四个命题：ab，b，则a；a、，a，b，则；a与成30的角，ab，则b与成60的角；a，b，则ab。其中正确命题的个数是（ ）A4个B3个C2个D1个4已知数列an的前n项为Sn，S3 = 3，S6 = 27，则此
2、等比数列的公比q等于（ ）A2B2CD5从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A210种B186种C180种D90种6已知函数，则的反函数是（ ）ABCD7已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，过点F2向F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（ ）A圆B椭圆C直线D双曲线的一支8已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m个，则从存储器中取出n个数据后，此存储器中的数据个数为mn个；若存储器中原有数据为m个，则将n个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为
3、m + n个。现已知计算机中A、B、C三个存储器中的数据个数均为0，计算机有如下操作：第一次运算：在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于2的数据；第二次运算：从A存储器中取出2个数据，将这2个数据存入B存储器中；第三次运算：从C存储器中取出1个数据，将这1个数据存入B存储器中；20070410第四次运算：从B存储器中取出A存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入A存储器，则这时存储器中的数据个数是（ ）A8B7C6D5第卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在题中横线上。9某市三所学校共有高中学生8000人，其中A校2520人；B校3280人；C
4、校2200人.现在采用分层抽样方法从所有学生中抽取200人进行心理测试.上述三所学校分别应该抽取人。10若（1ax）6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是。11圆x2 + y2 + 4x2y + 4 = 0上的点到直线xy1 = 0的最大距离与最小距离的差为。12已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是，切点到二面角棱的距离是1，则球的表面积是，球的体积是。13已知向量a =（2,3），且ab，则|a| = ，b的坐标是。14已知函数且不等式的解集。三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本小题满分13分）已知向量
5、，函数。（）求函数f（x）的最小正周期；（）当时，求f（x）的单调减区间。16（本小题满分13分）甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出。（）求甲队以二比一获胜的概率；（）求乙队获胜的概率。17（本小题满分13分）如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影。（）求直线EF与直线BC所成角的大小；（）求点O到平面ACD的距离；（）求二面角EBEF的大小。18（本小题满分13分）已知函数处有极值，处的切线l不过第四象限且倾斜角为，
6、坐标原点到切线l的距离为。20070410（）求a、b、c的值；（）求函数上的最大值和最小值。19（本小题满分14分）已知数列an的前n项为和Sn，点在直线上.数列bn满足，前9项和为153。（）求数列an、bn的通项公式；（）设，数列cn的前n和为Tn，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值。20（本小题满分14分）已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且OEP的面积为。（）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；（）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程。2007年北京市朝阳区高三下学期第一次统一考试数学（文科）试卷参考答案一、选择题1D 2B 3D 4A 5C
7、 6B 7A 8D二、填空题963，82，55102 112 1216，13，（4，6）或（4，6） 14三、解答题15解：（）因为 2分 4分 6分所以的最小正周期是7分（）依条件得9分解得11分又即当时，f（x）的单调减区间是13分16解：（）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为6分（）乙队以2：0获胜的概率为；乙队以2：1获胜的概率为乙队获胜的概率为8分（）若三场两胜，则甲获胜的概率或;若五场三胜，则甲获胜的概率12分，采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大。13分17方法一：（）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，所以EFAC。所以BCA是EF与BC所成角。2分正四
8、面体ABCD，ABC为正三角形，所以BCA = 60。即EF与BC所成角的大小是60 3分（）解法1：如图，连结AO，AF，因为F是CD的中点，且ACD，BCD均为正三角形，所以BFCD，AFCD。因为BFAF = F，所以CD面AFB。 4分因为CD在ACD，所以面AFB面ACD。 5分因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，在面ABF中，过O做OGAF，垂足为G，所以OG在ACD。即OG的长为点O到面ACD的距离。因为正四面体ABCD的棱长为1，在ABF中，容易求出AF = BF=，OF=，AO = ，因为AOFOGF，故由相似比易求出
9、OG = 所以点O到平面ACD的距离是。 8分解法2：如图，连结AO，CO，DO，所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥OACD底面ACD上的高h。与解法1同理容易求出OF=，AO = ，4分所以VACOD = 因为VOACD = VACOD， 5分所以= VOACD = 6分解得8分（）连结OD，设OD的中点为K，连EK，则EKAO。因为AO面BCD，所以EK面BCD。在平在BCD内，过点K作KNCD，KN交BF于M，交BC于N，因为BFCD，所以KNBF。连结EM，所以EMBF。所以NME是所求二面角的平面角。 10分因为EK = CH = ，MK = ED = AD = ，所以所以所以所求
10、二面角的大小为13分方法二：如图，以点A在面BCD的射影O为坐标原点，有向直线OA为z轴，有向直线BF为y轴，x轴为过点O与DC平行的有向直线。因为正四面体ABCD的棱长为1，所以可以求出各点的坐标依次为：O（0，0，0），A（0，0，），B（0，0）C（），D（），E（），F（）（）因为又，所以所以EF与BC所成角的大小是60。 3分（）因为，设平面ACD的一个法向量为，由因为，所以点O到平面ACD的距离等于8分（）因为，设平面BEF的一个法向量为，由，可得平面BEF的一个法向量10分容易得到平面BDF的一个法向量因为，所以12分所以二面角CBFE的大小为 13分18解：（）由有极值， 处的
11、切线l的倾斜角为 由可解得a =4，b = 5。 4分设切线l的方程为y = x + m，由坐标原点（0，0）到切线l的距离为，可得m =1，又切线不过第四象限，所以m =1，切线方程为y = x + 1。 6分切点坐标为（2，3），故a=4，b = 5，c =1。 7分（）由（）知，函数在区间1，1上递增，在上递减， 9分又， 12分在区间上的最大值为3，最小值为9。 13分19解：（）由题意，得故当，2分注意到n = 1时，a1 = S1 = 6，而当n = 1，n + 5 = 6， 3分所以，4分又，所以bn为等差数列，于是而，因此，5分（）10分所以，12分由于，因此Tn单调递增，故13分令14分20解：（）设所求的双曲线的方程为，由1分2分由点在双曲线上， 5分离心率6分（）设所求的双曲线的方程为，则 7分OFP的面积为8分解得9分，10分当且仅当时等号成立。 11分此时（舍）。 13分则所求双曲线的方程为14分注：（1）2个空的填空题，第一空为3分，第二个2分。（2）如有不同解法，酌情给分。资
