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1、第二章 随机变量及其分布 2 3 离散型随机变量的均值与方差 2 3 2 离散型随机变变量的方差 1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案 A B两台机床同时加工零件 每生产一批数量较大的产 品时 出次品的概率如下表 试问 由E X1 和E X2 的值能比较两台机床的产品质量吗 试想利用什么指标可以比较加工质量 xi E X 2 平均偏离程度 标准差 2 离散型随机变量与样本相比较 随机变量的 的含义相当于样本均值 随机变量取各个 不同值 相当于各个不同样本点 随机变量取各个不同值 的 相当于各个样本点在刻画样本方差时的权重 3 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量
2、的取值偏 离于 的平均程度 方差 或标准差 越小 则随机 变量偏离于均值的平均程度 4 方差的性质 若a b为常数 则D aX b 设离散型随机变量X的分布列为 数学期望 Xx1x2 xi xn Pp1p2 pi pn 概率 均值 越小 a2D X a2D X 5 若X服从两点分布B 1 p 则D X 设随机变量X B 1 p 则由两点分布随机变量数学期望 的计算公式得E X p 于是D X 0 p 2 1 p 1 p 2p p 1 p p 1 p p 1 p 6 若X B n p 则D X p 1 p np 1 p 1 甲 乙两个运动员射击命中环数 的分布列如下表 其中射击比较稳定的运动员是
3、 A 甲 B 乙 C 一样 D 无法比较 解析 E 9 2 E 9 2 E D 0 76 D 0 56D 说明甲得分的稳定性不如乙 因此甲 乙两人技术水平都不够全面 各有优势与劣势 规律总结 1 解答离散型随机变量的实际应用问题的 关注点 1 分析题目背景 根据实际情况抽象出概率模型 特别注 意随机变量的取值及其实际意义 2 弄清实际问题是求均值还是方差 在实际决策问题中 需先计算均值 看一下谁的平均水平高 然后再计算方差 分析一下谁的水平发挥相对稳定 因此 在利用均值和 方差的意义去分析解决实际问题时 两者都要分析 2 求分布列时的关注点 要注意利用等可能事件 互斥事件 相互独立事件的概率
4、公式计算概率 并注意结合分布列的性质简化概率 跟踪练习3 2017 沈阳高二检测 一家面包房根据以往某种面包的销 售记录 绘制了日销售量的频率分布直方图 如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率 并假设每天的销售 量相互独立 1 求在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于 100个且另1天的日销售量低于50个的概率 2 用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数 求 随机变量X的分布列 期望E X 及方差D X 解析 1 设A1表示事件 日销售量不低于100个 A2 表示事件 日销售量低于50个 B表示事件 在未来连 续3天是有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量 低于5
5、0个 因此 P A1 0 006 0 004 0 002 50 0 6 P A2 0 003 50 0 15 P B 0 6 0 6 0 15 2 0 108 用公式法求离散型随机变量的方差 1 若随机事件A在1次试验中发生的概率为 p 0 p 1 用随机变量 表示A在1次试验中发生的次数 则方差D 的最大值为 2 一农场有10头牛 因误食含有病毒的饲料而被感染 已知该病的发病率为0 02 设发病的牛的头数为 则D 等于 典例 4 0 196 某人有5把钥匙 其中只有一把能打开某一扇 门 今任取一把试开 不能打开者除去 求打开此门所需 试开次数X的均值和方差 要准确理解随机变量取值的含义 典例
6、 5 辨析 首先这不是五次独立重复试验 从5把钥匙中取一把试开房门 若 不能打开 则除去这把后 第二次试开就只有4把钥匙了 其次X k的含义是前k 1把钥匙没有打开房门 而第k把钥匙打开了房门 C 2 已知X服从二项分布B n p 且E 3X 2 9 2 D 3X 2 12 96 则二项分布的参数n p的值为 A n 4 p 0 6 B n 6 p 0 4 C n 8 p 0 3 D n 24 p 0 1 B 3 2018 吉林一中高二检测 某事件A发生的概率为 p 0 p 1 则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的 最大值为 思路分析 1 甲 乙两人选做同一题 包括同做第一题 同做第二题 同做第三题 由于每位学生选题相互独立 且每位学生只选做一题 故按互斥事件与独立事件求解 2 五位考生选题是五次独立重复试验 因此 服从二项分 布
