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1、第三章 统计资料的综合 表示统计资料的特征数有哪些 几何平均数与调和平均数各适合于什么情况 计算样本方差与总体方差公式有何区别 第三章 统计资料的综合 3 1 表示集中位置的特征数 3 1 1 平均数 算术平均数 Arithmetic average 几何平均数 Geometric Mean 调和平均数 第三章 统计资料的综合 定义 一组n个观测值x1 x2 xn的算术平均数 定义为 1 算术平均数 Arithmetic average 第三章 统计资料的综合 如果资料已经分组 组数为k 用x1 x2 xk 表示 各组中点 f1 f2 fk 表示相应的频数 那么 1 算术平均数 Arithme
2、tic average 第三章 统计资料的综合 表表3 1 3 1 某校某校125125位大学一年级新生体重表位大学一年级新生体重表 体重 公斤 组中值 x 人数 f 46 4847 4 49 5150 20 52 5453 25 55 5756 38 58 6059 21 61 6362 12 64 66655 1 算术平均数 Arithmetic average 第三章 统计资料的综合 其平均体重 55 592 1 算术平均数 Arithmetic average 第三章 统计资料的综合 当时最小 性性 质质 1 算术平均数 Arithmetic average 第三章 统计资料的综合 在
3、数据为环比类型的问题中 算术平均数是不适用的 例如下表是天津市工业总产值在 十五 期间的逐年 增长率 如求该期间平均增长率 算术平均数是不恰 当的 几何平均数可以解决这个问题 2 几何平均数 Geometric Mean 第三章 统计资料的综合 表表3 2 3 2 天津市工业总产值天津市工业总产值 年份 比上年增长 2000 200114 0 200219 6 200324 1 200431 0 200520 8 天津市2005统计年鉴 2 几何平均数 Geometric Mean 第三章 统计资料的综合 定义 一组n个数据的几何平均数定义为 在上式中 依次为114 0 119 6 124 1
4、 十五期间天津市工业总产值年均增长率为21 8 131 0 120 8于是几何平均数 2 几何平均数 Geometric Mean 第三章 统计资料的综合 当数据是相对变化率 求平均数时 算术平均数也不 恰当 例如 甲乙两地相距120公里 某人乘车往返甲乙两地之 间 去时速度每小时20公里 回来时速度为每小时30 公里 若求平均速度 这时用算术平均数是不对的 但调和平均数可解决此类问题 3 调和平均数 第三章 统计资料的综合 在上例中 公里 小时 定义 一组n个数据的调和平均数H 由下式定义 3 调和平均数 第三章 统计资料的综合 算术平均数表示了集中位置特征 它照顾到每一个值 但它不见得是出
5、现次数最多的值 甚至也可能不是 观测值中的一个 所以有必要研究表示集中位置的 其它的特征数 3 1 2众数 Mode 第三章 统计资料的综合 定义 对于有频数分布的变量 它的众数指频数最大的 变量的值 表表3 3 3 3 频数分布表频数分布表 Xf 315 52 73 对于已分组且等组距的频数分布 根据最大频数 可求得众 数所在组 根据众数定义 可知众数不唯一 3 1 2众数 Mode 第三章 统计资料的综合 算术平均数作为集中位置的特征还有一缺点 就是受 观测值中极端值的影响很大 而一组观测值中的极端 值常常没有代表性 中位数将避免这种影响 3 1 3 中位数 Median 第三章 统计资料
6、的综合 一组n个观测值按数值大小排列 处于中央位置的 值称为中位数以 表示 当n为奇数 当n为偶数 定义 即 3 1 3 中位数 Median 第三章 统计资料的综合 第25百分位数又称第一个四分位数 First Quartile 用Q1 表示 第50百分位数又称第二个四分位数 Second Quartile 用Q2表示 第75百分位数 又称第三个四分位数 Third Quartile 用Q3表示 中位数是第50百分位数 一组n个观测值按数值大小排列如x1 x2 x3 x4 处于p 位置的值称第p百分位数 定义 3 1 4 百分位数 Percentile 第三章 统计资料的综合 计算第p百分数
7、 第1步 以递增顺序排列原数据 即从小到大排列 第2步 计算指数 第3步 1 若i不是整数 将i向上取整 大于I 的毗邻整数为第p百分位数的位置 2 若i是整数 则第P百分位数是第i项与第 i l 项数据的平均值 如何计算百分位数 第三章 统计资料的综合 数据的变 异程度 产品质量检查的结果 说明生产 是否稳定 测量的结果 说明测量方法或 仪器是精密还是粗糙 学 生 的 成 绩 成绩是 否整齐 而不是高低 3 2 表示变异 分散 程度的特征数 第三章 统计资料的综合 定义 其中xmax和xmin分别为数据中的极大值和极小值 3 2 1极差 或称全距 Range R 第三章 统计资料的综合 对于
8、已分组的频数分布 组数为k 定义 平均差M D 是离差的绝对值的平均数 即 3 2 2 平均差 Mean Absolute Deviation 第三章 统计资料的综合 方差 样本 对于已分组的频数分布 组数为k 总体 样本 总体 3 2 3 方差 Variance 标准差 Standard Deviation 第三章 统计资料的综合 标准差 样本标准差 总体标准差 样本标准差 总体标准差 对于已分组的频数分布 组数为k 标准差的单位与X的单位相同 3 2 3 方差 Variance 标准差 Standard Deviation 第三章 统计资料的综合 定义 变异系数C 是一个无量纲的量 它适于
9、用在比较有不同算术平均数或有 不同量纲的两组数据的情况 例如比较大学生身高与小学生 身高 或比较130名大学生身高和体重哪个变化波动范围比 较大时 都可用变异系数 3 2 4变异系数 Coefficient of Variation 第三章 统计资料的综合 定义 变异系数C 是一个无量纲的量 它适于用在比较有不同算术平均数或有 不同量纲的两组数据的情况 例如比较大学生身高与小学生 身高 或比较130名大学生身高和体重哪个变化波动范围比 较大时 都可用变异系数 3 3 表示偏倚情况或程度的特征数 第三章 统计资料的综合 3 3 1比较众数 中位数和算术平均数的相对位置 下图列举出了对称的 具有左
10、偏态 负偏态 和右偏 态 正偏态 的频数分布的例子 注意到它们的特点 是 对称的分布的众数 中位数和算术平均数相同 具有偏倚性的分布 算术平均数突出在外 偏向分 布的尾端 而中位数则介于众数与算术平均数之间 偏倚性是表示各观测值分布不对称情况或程度的 3 3 表示偏倚情况或程度的特征数 第三章 统计资料的综合 图3 1 3 3 1比较众数 中位数和算术平均数的相对位置 第三章 统计资料的综合 Me Mo Me Mo Me Mo 可以看出 对于单峰的分布 对称态 左偏态 右偏态 3 3 1比较众数 中位数和算术平均数的相对位置 第三章 统计资料的综合 1 Pearson偏倚系数 Pearson
11、分布对称 则k 0 左偏态 则k0 3 3 2 定量地描述偏倚性 常用的两个公式 第三章 统计资料的综合 2 用标准化的三阶矩阵g表示 3 3 2 定量地描述偏倚性 常用的两个公式 第三章 统计资料的综合 3 4 五数概括法 五数概括法 2 第1四分位数 Q1 3 中位数 Q2 4 第3四分位数 Q3 5 最大值 1 最小值 第三章 统计资料的综合 首先将数据按递增顺序排列 然后很容易就能确定最小值 3个四分位数和最大值了 对12个月薪数据的样本 按照递 增顺序排列如下 2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825 Q1
12、 2365 Q2 2405 Q3 2500 上述起薪数据以五数概括为 2210 2365 2405 2500 2825 3 4 五数概括法 第三章 统计资料的综合 盒形图实际上是以图形来概括数据 我们将盒形图延 至这一章才讲是因为它的关键是计算中位数和四分位 数Q1和Q3 此外还将用到四分位数间距IQR Q3 Q1 盒形图的画法步骤如下 1 画一个方盒 其边界恰好是第1和第3四分位数 对 于上述的起薪数据 Q1 2365 Q3 2500 这个方盒包含了中间的50 的数据 2 在方盒上中位数的位置画一条垂线 对起薪数据 中位数为2405 因此中位数将数据分为相等的两个 部分 3 5 盒形图 第三章 统计资料的综合 3 利用四分位数间距IQR Q3 Q1 来设定界限 盒形 图的界限定于低于Q1以下1 5个IQR和高于Q3以上1 5 个IQR的位置 上 下限以外的数值作为异常值 4 在图3 4中的横线叫做须线 whisker 须线从 方盒的边线出发 直至在上 下限之内的最大值和最 小值 5 最后 任一异常值的位置以符号 标出 3 5 盒形图 第三章 统计资料的综合 盒形图例图 图3 2 3 5 盒形图
