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1、江西省白鹭洲中学2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题满分150分,考试用时120分钟.第卷(选择题,共50分)一、选择题:(每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确地选项填在题后的括号内)1设复数且,则复数的虚部为( )ABCD2下面使用类比推理正确的是 ( ). A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若” 类推出“ (c0)”D.“” 类推出“”3过曲线上的点的切线平行于直线,则切点的坐标为( )ABCD0,2与坐标轴围成的面积( )A. B. C. D.6已知直线L的参数方程为(t为参数 ),则直线的倾斜角为( )ABCD7设
2、随机变量x服从B(6,),则P(x=3)的值是 ( )A B C D 8已知分段函数,则等于()A B C D对于实数x,y,若,则的最大值为()A B CD10函数,当时,恒成立, 则的最大值与最小值之和为()A18B16 C14 D第卷(非选择题,共100分)二、填空题:每小题5分,共25分,把答案填写在题中的横线上复数为纯虚数 12利用数学归纳法证明“1aa2an1=, (a1,nN)”时,在验证n=1成立时,左边应该是 则 14有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中取出4个,则取出的编号互不相同的概率 . 15选作题(请在下列2小题中选做一题,全做的只计算第(A)题得
3、分)(A)在极坐标系中,曲线,曲线,若曲线C1与C2交于两点,则线段的长度为 (B)若不等式恒成立,则的取值范围为 三、解答题:共75分要求写出必要的文字说明、重要演算步骤,有数值计算的要明确写出数值和单位,只有最终结果的不得分16(本题满分12分)6个人坐在一排10个座位上,则(用数字表示)空位不相邻的坐法有多少种?)个空位只有个相邻的坐法有多少种?)个空位至多有个相邻的坐法有多少种? 17(本题满分12分)已知m,n是正整数,的展开式中x的系数为7,求展开式中的系数的最小值,并求这时的近似值(精确到0.01)19(本题满分12分) 某中学有A、B、C、D、E五名同学在高三“一检”中的名次依
4、次为1,2,3,4,5名,“二检”中的前5名依然是这五名同学。(1)求恰好有两名同学排名不变的概率;(2)如果设同学排名不变的同学人数为,求的分布列和数学期望20(本小题满分13分)已知函数 (1)当且,时,试用含的式子表示,并讨论的单调区间;(2)若有零点,且对函数定义域内一切满足的实数有求的表达式;当时,求函数的图象与函数的图象的交点坐标21(本题满分14分)已知曲线C的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,线的参数方程是:是参数).(1)将曲线C的方程转化为普通方程; (2)若线与曲线C相交于A、B两点,求;(3)设直线交于两点,且,过弦PQ的中
5、点作平行于x轴的直线交曲线于点,求证:的面积是定值高二下期中考试数学(理科)参考答案三、解答题:共75分16解:由已知可得:则展开式中的 系数为的系数最小为这时,17解:1) )18解:)由均值不等式,)由柯西不等式,结论推广为:19解:(1)第二次排名,恰好有两名同学排名不变的情况数为:(种)第二次排名情况总数为:A所以恰好有两名同学排名不变的概率为(2)第二次同学排名不变的同学人数可能的取值为:5,3,2,1,0X分布列为X01235pX的数学期望EX= 12分20解:(1) 2分 由,故 时 由 得的单调增区间是, 由 得单调减区间是 同理时,的单调增区间,单调减区间为 5分 (2)由(1)及 (i) 有知的零点在内,设,则,结合(i)解得, 8分 9分,先求与轴在的交点, 由 得 故,在单调递增又,故与轴有唯一交点即与的图象在区间上的唯一交点坐标为为所求 13分2解:1);),联立方程并消元得:,),消x得,由,得,