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1、江苏省泰州二中2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题命题：杨华 审核： 周干清一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.写出命题“若a0，则ab0”的逆否命题：2函数已知时取得极值，则= .3.命题“对所有的正数x，”的否定是 . 4.命题“使x为31的约数”是 命题.（从“真”和“假”中选择一个填空） 5. “三角函数是周期函数，ysinx，x是三角函数，所以ysinx，x是周期函数”在以上演绎推理中，下列说法正确的是(1)推理完全正确；(2)大前提不正确；(3)小前提不正确；(4)推理形式不正确”的 条件.（从“充分不必要”、“必要不充分
2、”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填空）7设是函数的导函数，已知在R上的图象（如图），若，则的取值范围是8. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 9. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为1：2，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积的比为 10. 过曲线f(x)=-x3+3x的点A(2,-2)的切线方程 11观察下列等式：132332,13233262,13233343102，根据规律，第五个等式为12. 已知为偶函数，曲线，。若曲线有斜率为0的切线，则实数的取值范围为已知函数在区间内，既有极大也有极小值，则实数的取值范围是 1
3、4在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.给出如下四个结论：20201；33；Z01234；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”其中，正确结论的个数是_ 15（本题满分14分）（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60.（2）已知试用分析法证明： . 16（本题满分14分）已知c0，设命题p：函数ycx为减函数.命题q：当x，2时，函数f(x)x恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围. 17（本题满分14分）已知函数,若,有极值，且曲线在点(1,)处的切线斜率为3.（1）求函数
4、的解析式；（2）求在4，1上的最大值和最小值。（3）函数有三个零点，求实数的取值范围.18. （本题满分16分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（01，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多
5、少？ 19（本题满分16分）在计算“”时，先改写第k项： 由此得相加，得（1）类比上述方法，请你计算“”的结果； (2) 试用数学归纳法证明你得到的等式.20. （本题满分16分）定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）f（x）恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”已知（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；（）设P（是函数 f（x）图象上任意两点，且00 因为10显然成立，所以原命题成立 . 16（本题满分14分）已知c0，设命题p：函数ycx为减函数.命题q：当x，2时，函
6、数f(x)x恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围. 【答案】由命题p知：0c1.要使此式恒成立，则2，即c.又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为0c.当p为假，q为真时，c1.综上，c的取值范围为c|0c或c1.17（本题满分14分）已知函数,若,有极值，且曲线在点(1,)处的切线斜率为3.（1）求函数的解析式；（2）求在4，1上的最大值和最小值。（3）函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】解：（1） 由题意，得所以， （2）由（1）知令 x4（4，2）2（2，）（，1）1+00+极大值极小值函数值-11134上的最大值
7、为13，最小值为11。（3） 18. （本题满分16分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（01，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10
8、（1+x）；出厂价为13（1+0.7x）；年销售量为5000（1+0.4x），因此本年度的利润为即： 由， 得 （2）本年度的利润为则 由 当是增函数；当是减函数.当时，万元， 因为在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， 所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20200万元 19（本题满分16分）在计算“”时，先改写第k项： 由此得相加，得（1）类比上述方法，请你计算“”的结果； (2) 试用数学归纳法证明你得到的等式.【答案】见解析【解析】本试题主要是考查了类比推理的运用，以及数学归纳法的综合运用。（1）根据已知的条件和结论，分析观察可知道所求的表达式的结论。（2）运用数学归纳法证
9、明时，注意两步骤的运用尤其是假设一定要用上，否则证明的结论就是错误的。(1) 先改写第k项：由此得相加，得(2)证：当时,左边=，右边 当时等式成立 假设当时, 成立，那么, 当时, 即当时, 等式也成立 由(1),(2)可知，对一切自然数成立20. （本题满分16分）定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）f（x）恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”已知（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的 “左同旁切线”；（）设P（是函数 f（x）图象上任意两点，且00，使得请结合（I）中的结论证明：【答案】（）要证明结论即证. 构造函数令，则，分析最值得到结论。再令分析最值得到结论综上可知故对任意，恒有成立，即直线是与的“左同旁切线” （）因为根据已知函数，得到导函数，所以，所以.
