《（通用版）高考数学一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性讲义理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（通用版）高考数学一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性讲义理（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称口诀记忆奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称.2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这
2、个最小正数就叫做f(x)的最小正周期并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)5.熟记常用结论1奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变
3、量也互为相反数2周期性的4个常用结论设函数yf(x)，xR，a0.(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a；(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(xa)，则函数的周期为2a；(4)若f(xa)，则函数的周期为2a.3对称性的3个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称小题查验基础一、判断题(对的
4、打“”，错的打“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x解析：选BA中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.2下列函数为奇函数的是()Ay By
5、exCy|x| Dyexex解析：选DA、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.3若yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在yf(x)图象上的是()A(a，f(a) B(a，f(a)C(a，f(a) D(a，f(a)解析：选B因为(a，f(a)是函数yf(x)图象上的点，且yf(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(a，f(a)，即(a，f(a)一定在yf(x)的图象上4已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_解析：f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0
6、，ab.答案：5设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.解析：f(x)是定义在R上的周期为2的函数，fff422121.答案：1考点一基础自学过关 函数奇偶性的判定 题组练透判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(x1) ；(2)f(x)(3)f(x)；(4)f(x)loga(x)(a0且a1)解：(1)因为f(x)有意义，则满足0，所以1x1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数(2)法一：定义法当x0时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；当x0时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)
7、1x22x1f(x)所以f(x)为奇函数法二：图象法作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数(3)因为所以2x2且x0，所以定义域关于原点对称又f(x)，所以f(x)f(x)故函数f(x)为偶函数(4)函数的定义域为R，因为f(x)f(x)logaxloga(x)loga(x)loga(x)loga(x)(x)loga(x21x2)loga10.即f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数名师微点判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x
8、)0是否成立(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇提醒分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性考点二师生共研过关 函数奇偶性的应用 典例精析(1)(2019广州调研)已知函数f(x)a为奇函数，则实数a_.(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)_.(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(
9、2 017)f(2 019)的值为_解析(1)易知f(x)的定义域为(，0)(0，)，因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即aa，所以2a1，所以a.(2)f(x)为奇函数，x0时，f(x)x1，当x0时，x0，f(x)f(x)(x1)x1，即x0时，f(x)x1.(3)由题意得，g(x)f(x1)，f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)0.f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.答案(1)(2)x1(3)0解题技法与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)
10、求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数f(x)f(x)，f(x)为偶函数f(x)f(x)，列式求解，也可利用特殊值法求解对于在x0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)0求解过关训练1设f(x)x2g(x)，xR，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为()Ag(x)x3Bg(x)cos xCg(x)1x Dg(x)xex解析：选B因为f
11、(x)x2g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(x)2g(x)x2g(x)，即g(x)g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.2设函数f(x)若f(x)是奇函数，则g(3)的值是()A1 B3C3 D1解析：选C函数f(x)f(x)是奇函数，f(3)f(3)，log2(13)(g(3)1)，则g(3)3.故选C.3若关于x的函数f(x)(t0)的最大值为a，最小值为b，且ab2，则t_.解析：f(x)t，设g(x)，则g(x)为奇函数，g(x)maxat，g(x)minbt.g(x)maxg(x)min0，ab2t0，即22t0，解得t1.答案：1考
12、点三师生共研过关 函数的周期性 典例精析(1)已知函数f(x)如果对任意的nN*，定义fn(x)，那么f2 019(2)的值为()A0 B1C2 D3(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.解析(1)f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，fn(2)的值具有周期性，且周期为3，f2 019(2)f3673(2)f3(2)2，故选C.(2)f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2，当x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(2)f(4)f(2 0
13、18)0，f(1)f(3)f(5)f(2 019)1.故f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.答案(1)C(2)1 010解题技法函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性过关训练1口诀第2句已知函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)；当x时，ff，则f(6)等于()A2 B1C0 D2解析：选D当x时，ff，即周期为1，则f(6)f(1)f(1)(1)312.2口诀第3、4句
