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1、XX朝阳区二模试卷理科定稿 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）xx.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分） 一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合M?0,1,3?，集合N?x x?3a,a?M?，则M?N=A.?0?B.?0,3?C.?1,3,9?D.?0,1,3,9?2 （2）若?(x?m x)dx?0，则实数m的值为01A?13B?23C?1D?2 （3）执行如图所示的程序框图若输出的结果是16，则判断框内的条件是
2、A.n?6?B.n?7?C.n?8?D.n?9?开始S=01n=11正视图S=S+n n=n+2否俯视图是输出S（第3题图）（第5题图）结束（第3题图）侧视图11 （4）若双曲线xa22?yb22?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x?2有公共点，则此双曲线的离心2率的取值范围是A3,?)B(3,?)C(1,3D(1,3) （5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A16B13C12D1 （6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A10种B12种C18种D36种 （7）已知函数f(x)?
3、a?2x?f(x),?1(a?0)，定义函数F(x)?f(x),x?0,x?0.给出下列命题F(x)?f(x)；函数F(x)是奇函数；当a?0时，若m n?0，m?n?0，总有F(m)?F(n)?0成立，其中所有正确命题的序号是ABCD? （8）点P是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则PA?PC1的取值范围是A?1,?14B?12,?14C?1,0D?12,0第二部分（非选择题共110分） 二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）i为虚数单位，计算3?i1?i? （10）若直线l与圆C:?x?2co s?,?y?1?2
4、sin?（?为参数）相交于A，B两点，且弦AB的中点坐标是(1,?2)，则直线l的倾斜角为 （11）如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC?4,PB?8，则tan?COP?，O BC的面积是 （12）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨?3x?4y?19,?（13将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组?x?1,所构成的三角形区域内，则该质点?y?1?2到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 （14）数列2?1的前n项1,3,7,?,2?1组成集合A n?1,3,7
5、,?,2?1(n?N)，从集合A n中任取k(k?1,2,3,?,n)个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn?T1?T2?T n例如当n?1时，A1?1，T1?1，S1?1；当n?2时，A2?1,3，T1?1?3，T2?1?3，S2?1?3?1?3?7.则当n?3时，S3?；试写出Sn? 三、解答题本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，且f(A)?2co s（）求函数f(A)的最大值；（）若f(A)?0,C? （16）（本小题满分14分）如图
6、，四边形ABCD是正方形，EA?平面ABCD，EA?PD，AD?PD?2EA?2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点n nn?A2sin(?A2)?sin2A2?co s2A2.?12,a?6，求b的值P（）求证FG?平面PED；（）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（）在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60？若存在，求出线段PM的长；若?H FD CE不存在，请说明理由. （17）（本小题满分13分）G为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数B A独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级从参加比
7、赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表成绩等级成绩（分）人数（名）A904B706C6010D407E303（）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A或B”的概率；（）根据（）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，3记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；（）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率 （18）（本小题满分13分）已知函数f(x)?m xx?12?1（m?0）)?e x(，g(x2a
8、xa)?R.（）求函数f(x)的单调区间；（）当m?0时，若对任意x1,x2?0,2，f(x1)?g(x2)恒成立，求a的取值范围. （19）（本小题满分14分）已知椭圆C:?FB1?FB2?a.xa22?yb22?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，短轴的端点分别为B1,B2,且（）求椭圆C的方程；（）过点F且斜率为k(k?0)的直线l交椭圆于M,N两点，弦M N的垂直平分线与x轴相交于D PM N点D.设弦M N的中点为P，试求 （20）（本小题满分13分）的取值范围已知实数x1,x2,?,x n（n?2）满足|x i|?1(i?1,2,3,?,n)，记S(x1,x2,?,x n)?（
9、）求S(?1,1,?23)及S(1,1,?1,?1)的值；?1?i?j?nx ixj（）当n?3时，求S(x1,x2,x3)的最小值；（）求S(x1,x2,?,x n)的最小值注4?1?i?j?nx ixj表示x1,x2,?,x n中任意两个数x i,xj（1?i?j?n）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类）xx. 一、选择题题号答案 （1）D （2）B （3）C （4）A （5）A （6）C （7）D （8）D 二、填空题题 （9）号答案2?i （10）?4 （11）43 （12）185 （13）1?12 （14）63n(n?1)3022?1（注两空的填空
10、，第一空3分，第二空2分） 三、解答题 （15）（本小题满分13分）解（）因为f(A)?2co sA2sinA2?sin2A2?co s?42A2?sin A?co sA?2sin(A?).因为A为三角形的内角，所以0?A?，所以?4?A?4?4?2?4.3?4所以当A?，即A?时，f(A)取得最大值，且最大值为2.?6分?4)?0，所以sin(A?4?0，所以A?4)?0（）由题意知f(A)?又因为?4?A?12asin A?4?2sin(A?4，所以A?3?4又因为C?，所以B?6?sin?sin?4?3?3?13分由正弦定理?bsin B得，b?a sinBsin A （16）（本小题满
11、分14分）（）证明因为F,G分别为PB，BE的中点，所以FG?PE.又FG?平面PED，PE?平面PED，所以FG?平面PED.?4分（）因为EA?平面ABCD，EA?PD，5所以PD?平面ABCD，所以PD?AD，PD?CD.又因为四边形ABCD是正方形，所以AD?CD.如图，建立空间直角坐标系，因为AD?PD?2EA?2,所以D?0,0,0?，P?0,0,2?，A?2,0,0?，Cz PH FE DG Ax B?5分C y?0,2,0?，B?2,2,0?，E(2,0,1)因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，?11所以F?1,1,1?，G(2,1,)，H(0,1,1).所以G F?(
12、?1,0,)，G H?(?2,0,).22211?x?z1?01?n1?G F?0?2设n1?(x1,y1,z1)为平面FGH的一个法向量，则?,即?，?1?2x?z?0?n1?G H?011?2?再令y1?1，得n1?(0,1,0).PB?(2,2,?2),PC?(0,2,?2).?n2?PB?0设n2?(x2,y2,z2)为平面PBC的一个法向量,则?,?n2?PC?0即?2x2?2y2?2z2?0?2y2?2z2?0，令z2?1，得n2?(0,1,1).所以co sn1,n2=n1?n2n1?n2=22.?4所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为.?9分?（）假设在线段PC上存在
13、一点M,使直线FM与直线PA所成角为60.?依题意可设PM?PC,其中0?1.?由PC?(0,2,?2),则PM?(0,2?,?2?).?又因为FM?FP?PM,FP?(?1,?1,1)，所以FM?(?1,2?1,1?2?).?因为直线FM与直线PA所成角为60，PA?(2,0,?2)，?6?所以co sFM,PA=12，即12?2?2?2?4?2?1?2(2?1)2，解得?58.?5255所以PM?(0,?)，PM?.444524?所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60，此时PM?.?14分 （17）（本小题满分13分）解（）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，
14、分数等级为“A或B”的频率为43013?630?1030?13从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“A或B”的概率约为?3分（）由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3所以P(X?0)?C3()?()?3301023827；22124111P(X?1)?C3()?()?；332792162212P(X?2)?C3()?()?；33279xx13P(X?3)?C3()?()?3327随机变量X的分布列为X P08276271492293127所以EX?0?827?1?1227?2?3?127?1?9分（）设事件M从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为m,n显然基本事件的总数为C30不妨设m?n，当m?90时，n?60或40或30，其基本事件数为C4?(C10?C7?C3)；当m?70时，n?40或30，其基本事件数为C6?(C7?C3)；当m?60时，n?30，其基本事件数为C10?C3；11111111127所以P(M)?C4?(C10?C7?C3)?C6?(C7?C3)?C10?C3C302111111111?3487所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为3487?
