分块矩阵的应用研究报告

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1、 .1引言在数学名词中，矩阵（英文名Matrix）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好的解释了Matrix代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便，又直观.例如对于方程组我们可以构成一个矩阵因为这些数字是有规则的排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来.数学上，一个矩阵乃一个行列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成.矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常用于很多学科中.如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等.在实际生活中有许多问题

2、都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算的证明中则会是一个很繁琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主.在已有的相关文件中，分块矩阵的一些应用如下：（1）

3、从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.（2） 分块矩阵在线性代数中是一个基本工具，研究许多问题都需要它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵秩方面的应用.如：设是一个四分块阶矩阵，其中、分别是阶矩阵，若可逆，可证 ，另若可逆，则可证得.（3） 通过绪论证明矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题，用分块矩阵求逆矩阵问题，用分块矩阵求矩阵行列式的问题，用分块矩阵求矩阵的秩的问题，利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题.如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：已知矩阵秩秩，且秩秩可证得秩

4、.（4）利用分块矩阵求高阶行列式.如设、都是阶矩阵，其中，并且，则可求得.（5）给出利用分块矩阵计算行列式的方法，可分几个方面讨论，当矩阵或可逆时;当矩阵=，=时;当与或与可交换时；当矩阵被分成两个特殊矩阵的和时，行列式的计算.（6）分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性.本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题可以带来很大的便利.2 分块矩阵及其性质2.1 分块矩阵2.1.1分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵划分成若干较小的矩阵： （2.1）其中每个

5、小矩阵 叫做的一个子块；分成子块的矩阵叫做分块矩阵.2.1.2分块矩阵的运算规则在用规则（1）时，与的分块方法须完全相同；用性质（3）时，的列的分法与的行的分法须相同.2.2分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中，我们经常用到下面三条性质：（1）若行列式中某行有公因子，则可提到行列式号外面；（2）把行列式中的某行乘上某一个非零数，加到另一行中去，其值不变；（3）把行列式的某两行互换位置，其值变号.利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广.性质1 设方阵A是由如下分块矩阵组成 （2.2）其中都是矩阵，又是任一级方阵，对于矩阵 （2.3）则.证明：设为级单位矩阵，则于是 性质2

6、 设矩阵是由如下分块矩阵组成 （2.4）其中都是矩阵，又是任一级方阵，对于矩阵 （2.5）则证明：由= 其中为级单位矩阵，对上式两边同时取行列式得性质3 设方阵和写成如下的形式：，其中都是矩阵，则：，当为偶数时；-，当为奇数时.证明：可由中的与相应的两行对换而得到，而对换行列式得两行，行列式反号，故当为偶数时，当为奇数时-可以证明，对于一般分块矩阵也具有类似的性质.同时，这些性质不仅对行成立，对列也同时成立.推论1 设都是阶方阵，则有 （2.6）证明：作2阶行列式由拉普拉斯展开定理得.又由性质2并应用于列的情况，有 推论2 设都是阶方阵，则有 （2.7）证明：根据性质2并应用于列的情况，有 下

7、面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.例 1 计算2n阶行列式 解：令A= B=.推论3 设、都是阶方阵，其中，并且，则有 （2.8）证明： 根据性质2.因为可逆，并注意到，用乘矩阵的第一行后加到第二行中去得 从而例 2 计算行列式 解：设 其中.由计算知 且，所以.把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到三个结论.设、都是阶方阵.则有 （2.6） （2.7） （2.8）结论(2.6)告诉我们两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵行列式的乘积.结论(2.7)则说明,当一个行列式可以分解成四个级数相等的方阵、时(即),那么我们可以转化为求这样我们就把求2级的行列式

8、转换成了求级的行列式.结论（2.8）同样也说明当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵、时（即），我们可以转换为求，同样将一个2级的行列式转换成了级的行列式，这样的处理能给我们的计算带来很大的方便.例题1和例题2就是很好的印证.但并不是任何矩阵都能做到这样，因此我们在解行列式计算题时应首先观察其特点.一但发现有以上行列式的特点，即可用之.3 分块矩阵在证明方面的应用3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用3.1.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用定理1 秩（）秩（），且秩（）秩（）,则秩（）秩（），秩（）证明：令 则 可由（2）线性表示所以秩（1）秩（2），即秩（）=秩（）秩（） 令 所以

9、即 可由 线性表示所以秩（3）秩（4），即秩（）=秩（）秩（）也即秩（）min秩（），秩（）定理2 设，都是阶矩阵，若=0则秩（）+秩（）n . 证明：对分块如下：.由于=0，即.即 .说明的各列都是的解.从而 秩基础解系=-秩（）.即 秩（）+秩（） .3.1.2 分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用例 3 设，都是阶矩阵，求证：秩（）秩（）+秩（）证明：因为所以 因为 都可逆 .所以 秩=秩而秩秩且秩=秩（）+秩（）.所以秩（）秩（）+秩（）.例 4 设为矩阵，是从中取行得到的矩阵，则秩（）秩（）+.证明：不妨设是的前行，而后行构成的矩阵为，则.又显然有 秩（）秩（）+秩（）.于是 秩（

10、）秩+秩=秩（）+.利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级的矩阵来证明，如例题1.另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明，如例题2.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明.3.2 分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中有着广泛的应用，欲透彻掌握达到运用自如却非易事.其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境.作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们大家往往容易忽视它重要的一点矩阵分块的作用，本节就谈谈它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用

11、.3.2.1 关于矩阵列（行）向量线性相关性定理1 矩阵的列向量线性无关的充分必要条件是只有零解.证明：令，其中是的列向量，且 .即，也即 .若线性无关，则有只有零解，反之亦成立.例5 矩阵列线性无关，.求证：列线性无关的充要条件是列线性无关.证明：充分性：使即，记，则，因为列无关，须，即，又列无关，须，从而列无关.必要性：要使，两边左乘，则，即，因为列无关，所以，从而列无关.3.2.2 矩阵的分解定理2 设（1）使；（2）使；（3）使.证明：使 （1） 将与作如下分块： .则.（2）令因为.令，即得，.（3）因为，即得，.矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为

12、矩阵的列（行）都可以看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过分块矩阵来解决.4 分块矩阵在计算方面的应用4.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用定理1 设是一个四分块方阵,其中为阶方阵,为阶方阵,当与都是可逆矩阵时,则是可逆矩阵,并且特例 (1)当与都可逆时,有. (2)当与都可逆时,有. (3)当与都可逆时,有.证明： 设可逆,且,其中为阶方阵,为阶的方阵.则应有 .即.于是得到下面的等式因为可逆,用右乘(4.2)式可得代入(4.1)式得，则 .用右乘(4.4)式可得 .代入(4.3)式得 .则可得.所以 .定理2 设是一个四分块方阵,其中为阶方阵,为

13、阶方阵,当与都是可逆矩阵时,则是可逆矩阵,并且特例(1)当与都可逆时,有. (2)当与都可逆时,有. (3)当与都可逆时,有.此结论可参考命题1.例6 设,求.解：令.则很容易求得且由命题2可得,例 7 求矩阵的逆矩阵.解：设则.由命题1可得:. 本节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵,现将该矩阵分成四小块再根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别中哪些可逆哪些不可逆，再具体运用.4.2 分块矩阵在行列式计算方面的应用 在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事

14、实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.4.2.1 矩阵或可逆时，行列式的计算定理1 分别为与阶行列式.（1）当可逆时，有 （4.5）（2）当可逆时，有 （4.6）证明：（1）根据分块矩阵的乘法，有.由引理知，两边取行列式即得（4.5）.（2） 根据分块矩阵的乘法，有两边取行列式即得（4.6）.此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵的求逆问题，但在利用命题（1）时，要特别注意条件有矩阵或可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用. 推论1 设、分别是矩阵.证明 （4.7） （4.8）证明：只需要在命题1的（4.5）中令，即得（4.7）；在（4.6）中令即得（4.8）.推论2 分别是和矩阵.证明