《2020高考数学（理）二轮复习热点聚焦三角恒等变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学（理）二轮复习热点聚焦三角恒等变换（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 三角恒等变换【考情分析】三角恒等变换主要考查两角和、差及倍角公式的正用、逆用、变形用，仍然是2020年高考考查的热点，小题题型为选择、填空题，分值为5分；大题仍有可能以三角形中的三角函数为背景，结合平面向量、正弦、余弦定理，考查三角公式的恒等变形，和运算求解能力；也有可能考查三角函数的图像与性质，结合实际问题考查三角函数的基本公式、图象与性质、正、余弦定理， 解三角形的实际应用题要高度关注，分值为12分。考点一 给值求值、给值求角、给角求值【必备知识】1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式； （）； （）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式升幂公式降幂公式， (3)万能公式：(4)半角公式：(5)
2、 辅助角公式:，其中。3、常数“1”的代换:1=sin2+cos2,1=2cos2-cos 2,1=cos 2+2sin2,1=tan .【典型例题】【例1】已知cos（+）-sin =,则sin（+）的值是( )A.- B.- C. D.【解析】cos(+)-sin =cos -sin =(cos-sin )=sin(-)=.sin(+)=sin2+(-)=sin(-)=-sin（-）=-.故选B.【方法归纳 提炼素养】数学思想是整体代换，核心素养是数学运算.1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;变换待求式,便于
3、将已求得的函数值代入,从而达到解题的目的.2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：等.【例2】已知sin =,sin(-)=-,均为锐角,则角等于()A. B. C. D.【解析】因为,均为锐角,所以-0,所以00,所以02,所以tan(2-)= =1.因为tan =-0,所以,-2-0,所以2-=-.3、（2020广东广州天河区一模）已知函数，若方程的解为，则（ ）A. B. C. D.【解析】因为，所以.令，可得.因为方程的解为，所以，所以，所以.因为，所以，所以.由得，所以.故选A.【自我总结】三角函数求值有三类：（1） “给角求值”，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上
4、来看是很难的，但仔细观察可以发现非特殊角与特殊角总有一定联系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得解.（2） “给值求值”，给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”.（3） “给值求角”，实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，再求角的范围，进而确定角.考点二 公式的灵活运用【必备知识】1、同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用平方关系sin2+cos2=1可实现的正弦、余弦的互化,利用商数关系=tan 可以实现角的弦切互化.(2)关系式的逆用及变形用:.(3)sin ,cos 的齐次式的应用:分式中分子与分母
5、是关于sin ,cos 的齐次式,无分母含有sin2,cos2及sin cos 的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2+cos2=1”代换后转化为“切”后求解.2、利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法:分析结构特点,选择恰当公式;利用公式化成单角三角函数;整理得最简形式.(2) 化简要求:化简过程是恒等变形;结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.【例4】已知tan=2，求的值.【解析】原式=1.【方法归纳 提炼素养】数学思想是整体代换，核心素养是数学运算.把形如,等类型叫做“齐次式”，已知正切值，可用“弦切互化法”求值，具体思路
6、是：整式的分母换成1,再用平方关系,构造出分子、分母都是关于正弦、余弦的齐次式;把分子分母同除以余弦的齐次幂,转化为一个关于正切的分式;代入已知的正切值可解.【例5】若,则的值为（ ）A. B. B. D. 【解析】由诱导公式得,平方得,则,所以,又因为,所以,所以，故选C.【方法归纳 提炼素养】数学思想是整体代换，核心素养是数学运算.已知正弦和余弦的表达式的值求值关键是通过平方关系,采用“完全平方式转换法”在，之间建立联系,比如设 , (注意根据角的范围选择正负号)或者，解这些题目的最基本方法是解关于的方程组,解得的值.易错提醒:(1)平方关系最多使用一次,注意开方时正负号的选取.(2)解方
7、程组时,注意三角函数的符号,不要产生增解.【变式训练】已知ABC中,则tanA= .【解析】解法一：列出方程组由第一个方程得,代入第二个方程得，即， 解得或，因为ABC中0A0,，所以. 答案:.解法二：由已知得sinA0,cosA0, |sin A|-1,由两边平方,整理得，即，分子分母同除以得， 解得.考点三 利用三角恒等变换解决三角函数的性质问题【必备知识】三角函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的思路利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式;利用公式求周期;根据自变量的范围确定的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可
8、换元转化为求二次函数的最值;根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间.【例6】(2020江苏扬州9月检测)在,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.（1） 求角A，B，C的值；（2） 若，求函数的最大值与最小值.【解析】（1）因为，所以.由正弦定理得，所以.又,所以.由可得，所以，所以，所以，所以，故，又，所以,又A=B，所以.（2）由题意知，令，因为，所以.易知函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上的最小值为，此时x=0；函数在上的最大值为，此时.综上，可知当，函数最大值为1，最小值为.【方法归纳 提炼素养】数学思想是换元思想、函数思想，核心素养是数学运算、思想建
9、模.利用三角恒等变换求解三角函数的最值问题，最常用的方法是辅助角法和换元法。（1） 辅助角法.求形如的最值，解决此类题的关键是： 第一步：通过引入辅助角，将原式化为；第二步：由x的取值范围求出的取值范围，从而利用三角函数的有界性求得函数的最值.（2）换元法.将形如的函数，通过换元转化为形如的二次函数形式，解此类题的关键点是利用三角函数的平方关系，把异名化为同名，再转化为二次函数求解，注意新元的取值范围.【类比训练】已知函数.(1)求函数的单调减区间.(2)求函数的最大值并求取得最大值时的x的取值集合.(3)若,求的值.【解析】f(x)=2cosxcos3+2sinxsin3-2cosx=cos
10、x+sinx-2cosx=sinx-cosx=2sinx-6.(1)令2k+2x-62k+32(kZ),所以2k+23x2k+53(kZ),所以单调递减区间为.(2)f(x)取最大值2时,x-6=2k+2(kZ),则x=2k+23(kZ).所以f(x)的最大值是2,取得最大值时的x的取值集合是x|x=2k+23,kZ.(3)f(x)=65,即2sinx-6=65,所以sinx-6=35.所以cos2x-p3=1-2sin2x-6=1-2352=725.做高考真题 提能力素养【选择题组】1、（2019全国卷III理T10）已知a（0，），2sin2=cos2+1，则sin=（ ）A. B. C.
11、 D. 【解析】B.，又，又，故选B2、(2018全国卷II高考理科T10)若f(x)=cosx-sinx在-a,a上是减函数,则a的最大值是( )A.4 B.2 C.34 D.【解析】选A.f(x)=cosx-sinx=2cosx+4在-4,34上单调递减,所以-a,a-4,34,故-a-4且a34,解得0a4.3、(2018全国高考理科T4)若sin=13,则cos2=()A.89B.79C.-79D.-89【解析】选B.cos2=1-2sin2=1-2132=79.【非选择题组】1、(2018全国卷II高考理科T15)已知sin+cos=1,cos+sin=0,则sin(+)=.【解析】由sin+cos=1与cos+sin=0分别平方相加得sin2+2sincos+cos2+cos2+2cossin+sin2=1,即2+2sincos+2cossin=1,所以sin(+)=-12.
