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1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工类） 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，第 I卷 1 至2 页,第 II卷 3 至 9 页， 共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题共 40 分）注意事项： 1 答第 I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一
2、项。 （1）在复平面内，复数 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）若 a 与 bc 都是非零向量，则“ab=ac”是“a（bc）”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为（A）36 个 （B）24 个 （C）18 个 （D）6 个 （4）平面的斜线 AB 交于点 B，过定点 A 的动直线与 AB 垂直，且交于点 C，则动 点 C 的轨迹是 （A）一条直线 （B）一个圆 （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支（
3、5）已知 是上的增函数，那么 a 的取值范 围是 （A）（0，1） （B）（0，） （C）, （D）（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意,( ). 恒成立”的只有（A） （B）= （C） （D）（7）设,则等于（A） （B）（C） （D）（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、 C 的机动车辆数如图所示，图中 分别表示该时段单位时间通过路段 ,的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 （A） （B）（C）（D）绝密启用前2006 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（文史类
4、） 第 II 卷（共 110 分）注意事项： 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题：本大题共 6 小题，每小 题 5 分，共 30 分。把答 案填在题中横线上。(9）的值等于.(10）在的展开式中,的系数是.（用数字作答） (11）若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）（0 ,b）(ab0)共线，则, 的值等于(12）在ABC 中，若 C B A sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则B 的大小是(13）已知点 P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO |的最小值 等于,最大值等于.（14）已知A、B、C三
5、点在球心为 O，半径为R 的球面上，ACBC，且 AB=R，那么 A、B 两点间的球面距离为 球心到平面 ABC 的距离为. .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）（本小题共 12 分） 已知函数. （）求的定义域； （）设的第四象限的角，且，求的值（16）（本小题共 13 分） 已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求： （）的值； （）a，b，c 的值. (17）（本小题共 14 分） 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，ABAC，PA平面 ABCD，且 PA=PB，点 E
6、 是 PD 的中点. （）求证：ACPB； （）求证：PB/平面 AEC； （）求二面角 EACB 的大小.（18）（本小题共 13 分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考 试是否及格相互之间没有影响. 求： （）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）（19）（本小题共 14 分） 已知点 M（2，0），N（2，0
7、），动点 P满足条件|PM |PN |=，记动点 P的轨 迹为 W. （）求 W 的方程； （）若 A，B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求、的最小值.（20）（本小题共 14 分） 在数列中，若 a1，a2 是正整数，且,3，4，5，则称为“绝对差数列”. （）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （）若“绝对差数列”中，,，数列满足n=1，2，3，分虽判断当时,与的极限是否存在，如果存在，求出其极 限值； （）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.数学（理工类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）D
8、（2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） （10）14 （11） （12） （13） （14） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15）（共 12 分） 解：（）由 得，故在定义域为（）因为，且是第四象限的角, 所以a 故.（16）（共 13 分） 解法一： （）由图象可知，在（，1）上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.()由得解得解法二:()同解法一.()设又所以由,即得,所以.（17）（共 17 分） 解法一： （）PA平面
9、ABCD，AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又ABAC，AC平面ABCD， ACPB. （）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 EOPB. 又 PB平面 AEC，EO平面 AEC， PB平面 AEC. （）取 BC 中点 G，连接 OG，则点 G 的坐标为,=.又是二面角的平面角二面角E-AC-B的大小为.（18）（共 13 分） 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C， 则（）应聘者用方案一考试通过的概率应聘者用方案二考试通过的概率.（）因为,所以故,即采用第一种方案,该应聘
10、者考试通过的概率较大.(19）（共 14 分） 解法一： （）由|PM|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实 半轴长又半焦距 c=2，故虚半轴长所以 W 的方程为,（）设 A，B 的坐标分别为, 当 ABx轴时,从而从而当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故所以 .又因为,所以,从而综上,当AB轴时,取得最小值2.解法二:(）同解法一. （）设 A，B 的坐标分别为，则, ,则令则且所以当且仅当,即时”成立.所以、的最小值是2.（20）（共 14 分） （）解：,（答案不惟一） （）解：因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限 不存在. 当时,所以（）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而 当时,; 当时,即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与()矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.资
