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1、考查角度1直线与圆的方程分类透析一圆的方程及其应用例1已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12,则圆C的方程为().A.x332+y2=43B.x332+y2=13C.x2+y332=43D.x2+y332=13解析由题意知圆心在y轴上,且被x轴所分的劣弧所对的圆心角为23.设圆心为(0,a),半径为r,则rsin3=1,rcos3=|a|,解得r=233,即r2=43,|a|=33,则a=33,故圆C的方程为x2+y332=43,选C.答案 C方法技巧关于确定圆的标准方程问题,可以利用待定系数法、几何法等知识进行处理,而确定圆心和半径是解题的关键,可以借助圆的几何性
2、质求圆心坐标和半径.分类透析二直线与圆的位置关系的判定与应用例2直线2tx-y-2-2t=0(tR)与圆x2+y2-2x+4y-4=0的位置关系为().A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能解析可将圆的方程化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心为(1,-2),半径r=3.又圆心在直线2tx-y-2-2t=0上,直线与圆相交,选C.答案 C方法技巧判定直线与圆的位置关系,可以利用代数法和几何法进行判定,代数法就是利用方程的根的个数进行判定,几何法就是利用圆心到直线的距离和其半径大小进行比较,从而确定其位置关系.例3已知直线l:y=-3(x-1)与圆O:x2+y2=1在第一象限内交于点M,且l
3、与y轴交于点A,则MOA的面积等于.解析依题意可得,直线l:y=-3(x-1)与y轴的交点A的坐标为(0,3).由x2+y2=1,y=-3(x-1),得点M的横坐标xM=12或xM=1(不合题意).所以MOA的面积为S=12|OA|xM=12312=34.答案34方法技巧根据直线与圆的位置不同,构造出的一些平面图形问题,解题时要注意平面图形问题的处理思路和方法,涉及面积时,可以借助一些圆的性质进行计算.分类透析三圆的切线和弦长问题例4过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,则|AB|的最小值为().A.23B.4C.25D.5解析由圆的几何性质可知,当点(1,1
4、)为弦AB的中点时,|AB|的值最小.又因为点(1,1)与圆心(2,3)的距离d=5,所以|AB|=2r2-d2=29-5=4.答案 B方法技巧先判断已知点和圆的位置关系,若已知点在圆外,则此时最小值为0;若已知点在圆内,则该点为弦AB的中点时,|AB|的值最小,此时的最大值为已知圆的直径.例5已知点M(3,1)及圆(x-1)2+(y-2)2=4,则过点M的圆的切线方程为.解析结合已知条件,得圆心C(1,2),半径r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+
5、1-3k=0,由题意知|k-2+1-3k|k2+1=2,解得k=34,故方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.综上,过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.答案x=3或3x-4y-5=0方法技巧解决圆的切线问题,关键是确定切线的斜率,可以根据直线与圆相切的条件进行处理,尤其需要注意直线的斜率是否存在.1.(2018年全国卷,文6改编)已知圆C:(x-2)2+y2=2和直线x+y+2=0,点P在直线上,则过点P作圆C的切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为.解析连接CQ,PC(图略),则|PQ|2=|PC|2-r2(其中r为已知圆C的半径),当|PC|最小时,|PQ|有最小
6、值,即先求点C到直线的距离|PC|的最小值,故此时点C(2,0)到直线x+y+2=0的距离为22,|PQ|min=(22)2-(2)2=6.答案62.(2016年全国卷,文6改编)圆x2+y2-2ax-8y+13=0的圆心到直线x+y-1=0的距离为2,则a=().A.-1B.-5C.3D.-1或-5解析圆x2+y2-2ax-8y+13=0化为标准方程为(x-a)2+(y-4)2=3+a2,故圆心坐标为(a,4),则圆心到直线x+y-1=0的距离d=|a+4-1|12+12=2,解得a=-1或a=-5,故选D.答案 D3.(2016年全国卷,文15改编)已知直线l:x+y-1=0与圆x2+y2
7、=25交于A,B两点(设点A位于第四象限),过A作l的垂线与x轴交于C点,则ABC的面积为.解析联立方程组x+y-1=0,x2+y2=25,得x=-3,y=4或x=4,y=-3,故点A(4,-3),点B(-3,4),所以直线AC的方程为y=x-7,得C(7,0),所以可得|AB|=72,|AC|=32.又因为ABAC,所以SABC=12|AB|AC|=127232=21.答案 214.(2018年江苏卷,12改编)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),过点B作直线l的垂线,垂足为A,则以AB为直径的圆的圆心C的横坐标为().A.1B.2C.3D.4解析
8、由题意得直线AB的方程为y-0=-12(x-5),联立方程组y-0=-12(x-5),y=2x,解得x=1,y=2,所以A(1,2),所以线段AB的中点坐标为C(3,1),则点C的横坐标为3,故选C.答案 C1.(2018年陕西省高三教学质量检测试题(二)已知C:x2+y2-4x-6y-3=0,点M(-2,0)是C外一点,则过点M的圆的切线的方程是().A.x+2=0,7x-24y+14=0B.y+2=0,7x+24y+14=0C.x+2=0,7x+24y+14=0D.y+2=0,7x-24y+14=0解析 C:x2+y2-4x-6y-3=0,即(x-2)2+(y-3)2=16,故圆心为(2,
9、3),半径为4.点M(-2,0)是C外一点,显然x+2=0是过点M的圆的一条切线,设另一条切线为y=k(x+2),则|2k-3+2k|1+k2=4,解得k=-724,所以切线方程为7x+24y+14=0.故选C.答案 C2.(云南省保山市2018届普通高中高三毕业生第二次市级)若x,y满足约束条件(x-1)2+(y-1)21,则x2+y2的最小值为().A.2-1B.3-22C.2+1D.3+22解析 (x-1)2+(y-1)21表示的是以(1,1)为圆心,1为半径的圆上及其圆内部的点,而x2+y2=(x-0)2+(y-0)2的几何意义是点(x,y)到原点的距离,所以x2+y2的最小值为2-1
10、,故选A.答案 A3.(山西省2018届高三第一次模拟考试)若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为().A.2B.22C.4D.42解析APB=90,|PA|2+|PB|2=4,由不等式可得|PA|+|PB|22|PA|2+|PB|22=2,|PA|+|PB|22,当且仅当|PA|=|PB|=2时,“=”成立,所以|PA|+|PB|的最大值为22.故选B.答案 B4.(安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1两点,以A1B
11、1为直径的圆C过点M(-2,3),则圆C的方程为().A.(x+1)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=17C.(x+1)2+(y-1)2=5D.(x+1)2+(y+2)2=26解析由题意知抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0).当直线AB的斜率不存在时,得圆C的方程为(x+1)2+y2=4,不符合题意,当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=k(x-1)(k0),联立方程组y2=4x,y=k(x-1),y2-4ky-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=-4.|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=41k2+1.以A1B1为
12、直径的圆C的圆心为-1,2k,半径为21k2+1.圆C的方程为(x+1)2+y-2k2=41k2+1.把(-2,3)代入圆C的方程得1+3-2k2=41k2+1,解得k=2.圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选C.答案 C5.(河南安阳2018届高三第二次模拟考试)已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过定点P(a,b),且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围是().A.0,14B.0,14C.-,14D.-,14解析将x2+y2-kx+2y=0与x2+y2+ky-4=0相减,得公共弦所在的直线方程为kx+(k-2)y
13、-4=0,即k(x+y)-(2y+4)=0.由2y+4=0,x+y=0得x=2,y=-2,所以定点为P(2,-2),因此2m+2n-2=0,所以m+n=1,mnm+n22=14,选D.答案 D6.(江西上饶市2018届高三上学期第一次模拟考试)已知点A是抛物线y2=2px(p0)上的一点,以其焦点F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点,若BFC=且满足2sin2+sin -sin 2=3cos ,当ABC的面积为323时,则实数p的值为().A.4B.42C.8D.82解析如图所示,由2sin2+sin -sin 2=3cos ,移项得sin -sin 2=3cos -2sin
14、2,化简为sin -2sin cos =3cos -2+2cos2,即sin (1-2cos )=(cos +2)(2cos -1),可得(2cos -1)(sin +cos +2)=0,又sin +cos +20,故cos =12,=3.又由图知|EF|=p,则在EFB中,|BC|=2|BE|=2ptan2.设点A到BC的距离为d,则d=|AF|=|BF|,|BF|=pcos2,SABC=12|BC|d=122ptan2pcos2=23p2=323,解得p=4,故选A.答案 A7.(四川省德阳市2018届高三二诊考试)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,其一条渐近线被
15、圆(x-m)2+y2=4(m0)截得的线段长为22,则实数m的值为().A.3B.1C.2D.2解析双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则ca=2,c2=2a2,a2+b2=2a2,a=b.不妨设其一条渐近线为x-y=0,圆(x-m)2+y2=4(m0)的圆心为(m,0),半径为2,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-m)2+y2=4(m0)截得的线段长为22,圆心到渐近线的距离为4-(2)2=|m|2,m=2,故选D.答案 D8.(浙江省金华十校2018年4月高考模拟考试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过圆x2+y2-4x-2y=0的圆心,则ab的取值范围是().A.14,+B.4,+)C.0,14D.(0,4解析将x2+y2-4x-2y=0化为(x-2)2+(y-1)2=5,可知圆心坐标为(2,1),代入椭圆方程,得4a2+1b2=1.
