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1、 第四章 数字控制器的模拟设计方法 4 1 PID控制规律的离散化方法 4 2 数字PID控制器的设计 4 3 PID控制算法的改进 4 4 数字PID控制器的参数整定 4 5 数字控制器的等价离散化设计 4 6 对数频率特性设计法 4 1 PID控制规律的离散化方法 在连续控制系统中 按偏差的比例 P 积分 I 和微分 D 进行控制的PID控制 或称PID调节 是最为常用的一种控制规 律 它具有原理简单 易于实现 鲁棒性 Robustness 强和适 用范围广等特点 PID控制器的参数比例系数Kp 积分时间常 数T1以及微分时间常数几相互独立 参数整定比较方便 此外 PID算法比较简单 计算
2、工作量比较小 容易实现多回路控制 因此 即使是在现在日益占主流的计算机控制系统中 PID控 制仍然是应用十分广泛的一种控制规律 4 1 l 模拟PID控制规律的离散化 在连续控制系统中 采用如图4 1 所示的PID控制器 其控制 规律的形式为 或写成传递函数的形式 其中 兄为比例系数 TI为积分时间常数 TD为微分时间常数 U t 为控制器的输出量 e t 为控制器输人量 即给定 量与输出量的偏差 为了用计算机实现PID控 制规律 必须将连续形式 的微分方程式 4 1 离 散化 成差分方程的形式 为此 取 T为采样周 期 k 0 l 2 i 为采样信号 因采样周期T相对信号 的变化周期是很小的
3、 所以就可以用矩形面积求和的方法近似式 4 1 中的g分作贼激向后差分的方法近似微分作用 即 于是 式 4 1 可改写成如下差分方程的形式 其中 u k 为采样时刻k 的输出量 e k 和e k 1 分别为采 样时刻k和k 1时刻的偏差值 式 4 3 输出量u k 为全量输 出 它对应于被控对象执行机构 如调节阀 每次采样时刻应 达到的位置 为此 式 4 3 称为PID位置型控制算式 这即 是PID控制规律的离散化形式 应该指出的是 若按式 4 3 计算u k 输出值与过去 所有状态有关 计算时就需要占用大量计算机内存和计算时间 这对用于实时控制的计算机来说非常不利 为此 考虑将式 4 3 改
4、写成速推形式 根据式 4 3 写出第k 1个采样时 刻的的输出值为 用式 4 3 两边减去式 4 4 两边 得 按式 4 5 计算采样时刻k的输出量u k 只需用到采样时 刻k的偏差值e k 以及向前递推两次的偏差值e k 1 e k 2 和向前递推一次的输出值u k 1 这就大大节约了 计算机内存和计算时间 许多情况下 执行机构本身具有累加或记忆功能 例如用 步进电机作为执行元件 具有保持历史位置的功能 只要控制器 给出一个增量信号 就可使执行机构在原来位置的基础上前进 或后退若干步 达到新的位置 这时 就需要采用增量型PID控 制算式 亦即输出量是两个采样周期之间控制器的输出增量 U k
5、由式 4 5 可得 式 4 6 称为增量型PID 控制算式 增量型PID控制算式和位置型PID控制算式相比仅仅是计算方 法上的改进 它们的本质是一样的 但增量型PID控制算法相对 位置型PID控制算法有一些优点 1 增量型PID控制算式只与最近几次采样的偏差值有关 不需要进行累加 或者说累加工作分出去由其它元件去完成了 所以 不易产生误差积累 控制效果较好 2 增量型PID控制算法只输出控制增量 误差动作 计算 机故障或干扰 影响小 3 增量型PID控制算法中 由于执行机构本身具有保持作 用 所以易于实现手动一自动的无扰动切换 或能够在切换时 平滑过渡 4 1 2 PID控制规律的脉冲传递函数
6、形式 在连续控制系统中 所设计出的模拟控制器 常以传递函数 的形式表示 与此类似 在计算机控制系统中 数字PID控制 器可以用脉冲传递函数的形式表示 若将式 4 3 进行z变换由于 故式 4 3 的Z变换可写成如下形式 于是 可得到PID控制规律的脉冲传递函数形式为 式中 由式 4 7 还可以得到其它类型的数字控制器的脉冲传递 函数 此为比例 p 数字控制器的脉冲传递函数形式 此为比例积分 PI 数字控制器的脉冲传递函数形式 此为比例微分 PD 数共控制器的脉冲传递函数形式 应该指出的是 在进行PID控 制规律离散化时 还有许多其 它方法 例如将积分作用用梯 形积分法则近似 其Z变换为 K1
7、T z十1 Z 1 微分项 的处理方法 同上 其Z变换表 示为 KD Z一1 Tz 其中 见和几分别为积分控制系数和微分控制系数 这样 完整的数 字PID控制器的组成框图如图4 2所示 其脉冲传递函数可 表 示为 4 1 3 数字PID控制器的工程实现 用于生产过程控制的计算机要求具有很强的实时性 用微型 计算机作为数字控制器时扭于受字长和运算速度的限制 需要 采用一些方法来加快运算速度 常用的方法有 采用定点运算 简化算法 查表法 硬件乘法器等 这里我们仅讨论简化PID 控制算式的方法 式 4 5 是位置型数字PID控制算式 按这个算式 计算机 每输出u k 一次 需要作四次加法 两次减法
8、四次乘法和 两次除法 若将该式整理成如下形式 式中 系数a0 a1 a2 的定义与式 4 8 相同 这些系数 为常数 可以高线算出 于是 按式 4 13 进行计算 计算 机每输出U k 一次 只需要作两次加法 一次减法 三次乘 法 按式 4 13 编制的位置型数字PID控制器的程序框图如图 4 3所示 在进人程序之前 系数已经计算出来 并存人预设存 储单元 CONSO CONSI 及 CONS2中 给定值和输出反馈 值经 采样后放人专门开辟的另外 存储单元中 4 2 数字PID控制器的设计 4 2 1 PID调节器参数对控制系统性能的影响 进行PID控制器的设计 首先应该明确各参数对系统的影响
9、如 何 这样设计工作才不会盲目进行 大家知道 增大比例系数Kp将加快系统的响应速度 在有静差 系统中有利于减小静差 但加大Kp只能是减小静差 却不能从 根本上消除静差 而且过大的Kp会使系统产生超调 并产生振 荡或使振荡次数加多 使调节时间加长 并使系统稳定性变坏 或使系统变得不稳定 若Kp选得太小 又会使系统的动作迟缓 积分控制通常与比例控制或微分控制联合使用 构成PI控制 或PID控制 增大积分时间常数TI 积分减弱 有利于减小超 调 减小振荡 使系统更稳定 但同时要延长系统消除静差的 时间 TI大小会降低系统的稳定性 增大系统的振荡次数 和积分控制一样 微分控制一般和比例控制或积分控制联
10、合使 用 构成PD控制或 PID控制 微分控制可以改善系统的动态特 性 如减小超调量 缩短调节时间 允许加大比例控制 使稳 态误差减小 提高控制精度 但应当注意的是 几偏大或偏小 时 系统的超调量仍然较大 调节时间仍然较长 只有当TD比 较合适时 才能得到比较满意的过渡过程 此外 应该指出的 是 微分控制也使系统对扰动有敏感的响应 例4 1 计算机控制系统的结构图如图4 4所示 采样周期 T 0 1s 若数字控制器D z Kp 试分析Kp对系统性能的影 响 解 系统广义对象的脉冲传递函数为 系统的闭环脉冲传递函数 当Kp 1时 系统在单位阶跃输人时 输出量的z变换为 采用长除法 可求出系统输出
11、序列的波形如图4 5所示 根据z 变换的终值定理 输出量的稳态误差 当 Kp 1 时 c 0 835 稳态误差 ess 0 165 当 Kp 2时 c 0 910 稳态误差 ess 0 09 由此可见 当Kp增大时 系统的稳态误差将减小 但却不能 最终消除稳态误差 通常Kp是根据静态速度误差系数Kv的要 求来确定 为消除稳态误差 可加入积分控制 例4 2 计算机控 制系统的结构仍如 图4 4所示 采用 数字控制器 试分 析积分作用及参数 选择 采样周期仍 为T 0 1 s 解 广义对象的脉冲传递函数仍和例 4 1一样 系统的开环脉冲传递函数 为了确定积分系数KI 可以使由于积分校正增加的零点
12、抵消极点 z 0 905 即令 假设比例系数Kp已由静态速度误差系数几确定 若选定Kp 1 由上式可以求出KI 0 105则得数字控制器的脉冲传递函数 为 系统经过PI调节器校正后的闭环脉冲传递函数为 在单位阶跃输人信号作用下 系统输出量的Z变换为 由上式可以求出输出响应 如图4 5所示 系统在单位阶跃输人时 输出量的稳态值 所以 系统的稳态误差ess 0 可见加积分校正后 消除了 稳态误差 提高了控制精度 但是 由图4 5可以看出 采用PI 控制虽然可以消除稳态误差 但系统的超调量达到了45 而 且调节时间也很长 为了改善动态性能 还应该加入微分校正 即采用 PID控 制 微分控制作用 实质
13、上是跟偏差的变化速率有关 微分控制 能够预测偏差产生超前校正作用 因此 微分控制可以较好地 改善动态性能 例4 3 计算机控制系统的结构仍如图4 4所示 采用数字PID 控制器 试分析微分作用及参数选择 采样周期仍为 T 0 1s 解 广义对象的脉冲传递函数仍和例4 1一样 采用数字PID控制器校正 设校正装置的脉冲传递函数为 假设Kp 1已经选定 并要求D z 的两个零点抵消G0 z 的两个极点z 0 905和Z 0 819 则 由上式可得方程 因此 可以解得KI 0 069 KD 3 062 所以PID控制器的 脉冲传递函数为 系统的开环脉冲传递函数为 系统的闭环脉冲传递函数为 系统在单位
14、阶跃输人时 输出量的z变换为 由上式可以求得系统的输出响应C kT 如图4 5所示 系统在单位阶跃输人下 输出量的稳态值为 系统的稳态误差 ess 0 所以系统在 PID控制时 由于积分控制 的作用 对于单位阶跃输人 稳态误差为零 由于微分控制的 作用 系统的动态特性也得到很大改善 调节时间缩短 超调 量减小 通过图4 5可以看出比例 积分 微分的控制作用 并可以比较出比例控制 比例积分控制以及比例积分微分控制 三种控制器的控制效果 4 2 2 按二阶工程设计法设计数宇PID控制器 二阶系统是工业生产过程中很常见的一种系统 其闭环传递函 数的一般形式为 将 s j 代人上式 得 它的模为 根据
15、控制理论可知 要使二阶系统的输出获得理想的动态品质 即该系统的输出量完全跟随给定量的变化 应满足下述条件 模 L 1 相位移 0 4 16 将式 4 15 代人式 4 16 可得如下结果 因此 可解得 将式 4 17 代人式 4 14 可得到理想情况下二阶系统 闭环传递函数的形式 设G s 为该系统的开环传递函数 根据 可推导出 4 19 式 4 19 即为二阶品质最佳的基本公式 例4 4 设被控对象由三个惯性环节组成 其传递函数的形式 为 其中 TS1 TS2 TS3 试按二阶工程设计法设计数字控制器 解 被控对象包含三个惯性环节 为将其校正成品质最佳二 阶系统 需采用PID调节器进行校正
16、校正环节的传递函数为 为提高系统的响应速度 令 1 Ts1 2 Ts2 则经校正后系统 的开环传递函数为 将上式与式 4 19 进行比较 可得 T1 2KTs3 将上式代人式 4 20 可得二阶工程设计法要求的PID调节 器的基本形式 其中 将上式进行离散化 即可得到二阶工程设计法PID数字控制器的 控制算式 例 4 5 轧机液压厚度调节微型计算机控制系统主要由电液伺服 阀 液压缸及差动变压器组成 图4 6所示为控制系统的简化图 轧机控制系统经过简化后 受控对象的开环传递函数为 式中 常数K T1 T2 由电液伺服阀 液压缸及差动变压器 的参数决定 而且T1 T2 从快速性和稳定性角度来看 用计算机实现对轧机系统的动 态校正 就是要求计算机与轧机系统组成的闭环系统具有二阶 最佳设计的基本形式 4 19 设计算机所取代的模拟调节器的传递函数为W S 又 知轧机的传递函数G S 由两个惯性环节组成 所以 为将 系统校正成二阶最佳设计的形式 应选择w S 为PI调节器 其传递函数为 为使调节器能抵消轧机系统中较大的时间常数T1 令 T1 所以闭环系统的开环传递函数为 将上式与式 4 19 相
