第四部分微分中值定理与导数的应用

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1、 定理1 费马 Fermat 定理 设f x 在 内 有定义 若f x 在 可导且对任意的 有 或 则 第一节 微分中值定理 一 罗尔定理 定理2 罗尔 Rolle 定理 如果函数f x 满足 1 在 a b 上连续 2 在 a b 内可导 3 f a f b 则至少存在一点 a b 使得f 0 在曲线上至少存在一点C 在 该点曲线具有水平切线 证 因为f x 在 a b 上连续 f x 在 a b 上必取得最大值 M和最小值m 1 如果M m 则f x 在 a b 上恒等于常数M 因此 对 一切x a b 都有 f x 0 于是定理自然成立 2 若M m 由于f a f b 因此M和m中至少

2、有一个 不等于f a 设M f a 则f x 应在 a b 内的某一点 处 达到最大值 即f M 由费马定理知f 0 例 验证罗尔定理对函数f x x2 2x 3在区间 1 3 上 的正确性 注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个 定理的 结论将不一定成立 显然函数f x 2x 3在 1 3 上满足罗尔定理 的三个条件 解 由f x 2x 2 2 x 1 可知f 1 0 因此存在 1 1 3 使f 1 0 二 拉格朗日中值定理 定理3 若函数y f x 满足下列条件 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 则至少存在一点 a b 使得 证 作辅助函数 F x 在 a b 上

3、连续 在 a b 内可导 且 F x 满足罗尔定理的条件 故至少存在一点 a b 使 得F 0 即 因此得 拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值 公式 也可以写成 f b f a f b a a b 是 a b 中的一个点 a b a 0 1 拉格朗 日中值公式还可写成 f b f a b a f a b a 0 1 a与b分别换成x与x x b a x 拉格朗日中值公式写成 f x x f x f x x x 0 称为有限增量公式 例 证 推论1 如果f x 在开区间 a b 内可导 且f x 0 则在 a b 内 f x 恒为一个常数 几何意义是斜率处处为零的曲线一定是一条平行于x 轴

4、的直线 证 在 a b 内任取两点x1 x2 设x1 x2 显然f x 在 x1 x2 上满足拉格朗日中值定理的条件 因为 f x 0 所以 f 0 从而 f x2 f x1 例 证 推论2 若f x 及g x 在 a b 内可导 且对任意x a b 有 f x g x 则在 a b 内 f x g x C C为常数 证 因 f x g x f x g x 0 由推论1 有f x g x C 即f x g x C x a b 三 柯西中值定理 定理4 柯西中值定理 若函数f x 和g x 满足以下条件 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 且g x 0 那么在 a b 内

5、至少存在一点 使得 证 若g a g b 则由罗尔定理 至少存在一点 1 a b 使g 1 0 这与定理的假设矛盾 故g a g b 作辅助函数 F x 满足罗尔定理的三个条件 于是在 a b 内至少 存在一点 使得 从而有 例 证 第二节 洛必达 L Hospital 法则 一 型未定式 定理1 设f x g x 满足下列条件 1 f x 0 g x 0 2 f x g x 在 内可导 且g x 0 3 存在 或为 则 证 由条件 1 设f x0 0 g x0 0 由条件 1 和 2 知f x 与g x 在U x0 内连续 设x 则f x 与g x 在 x0 x 或 x x0 上满足柯 西定

6、理的条件 当x x0时 显然有 x0 由条件 3 得 注意 1 如果 仍为 型未定式 且f x g x 满足 定理条件 则可继续使用洛必达法则 2 洛必达法则仅适用于未定式求极限 运用洛必达 法则时 要验证定理的条件 当 既不存在也 不为 时 不能运用洛必达法则 例 解 例 解 推论1 设f x 与g x 满足 1 f x 0 g x 0 2 存在X 0 当 x X时 f x 和g x 可导 且g x 0 3 存在 或为 则 证 令x 1 t 则x 时 t 0 例 解 二 型未定式 定理2 设f x g x 满足下列条件 1 f x g x 2 f x 和g x 在 内可导 且g x 0 3

7、存在 或为 则 推论2 设f x 与g x 满足 1 f x g x 2 存在X 0 当 x X时 f x 和g x 可导 且g x 0 3 存在 或为 则 例 解 解 例 三 其它未定式 若对某极限过程有f x 0且g x 则称lim f x g x 为0 型未定式 若对某极限过程有f x 且g x 则称lim f x g x 为 型未定式 若对某极限过程有f x 且g x 则称limf x g x 为 00型未定式 若对某极限过程有f x 1且g x 则称limf x g x 为 1 型未定式 若对某极限过程有f x 且g x 0 则称limf x g x 为 0型未定式 例 解 例 解

8、例 解 第三节 泰勒公式 一 泰勒公式 将一个复杂函数f x 用一个多项式Pn x a0 a1x a1xn来近似表示 当 x 很小时 有ex 1 x sinx x 两点不足 1 精度不高 误差仅为x的高阶无穷小o x 2 没有准确好用的误差估计式 设f x 在U x0 内有直到n 1阶导数 1 试求一个关于x 的n次多项式 使得在x0附近 有f x pn x 换言之 要求 即f x 和pn x 在x x0处的函数值及k阶 k n 导数值相等 2 给出误差f x pn x 的表达式 将x x0代入pn x 的表达式 得到 对pn x 求导 再将x x0代入 得到 对p n x 求导 再将x x0

9、代入 得到 定理 泰勒中值定理 设函数f x 在 a b 内具有直到 n 1阶导数 x0 a b 则对于任意x a b 有 其中 介于与x之间 证 令G x x x0 n 1 函数f x 在x x0点的n阶泰勒展开式 在 a b 内具有直到n 1阶的导数 且易求出 对Rn x 与G x 在相应区间上使用柯西定理n 1次 有 拉格朗日型余项 拉格朗日中值定理可看作是零阶 n 1 拉格朗日型余 项的泰勒公式 对于多项式pn x 近似表达函数f x 对于某个固定 的n 当x在开区间 a b 内变动时有 M M为常 数 则其误差有估计式 而 且 0 从而当x x0时 Rn x 是关于 的高阶无穷小 即

10、余项又可以表示为 称这种形式的余项为皮亚诺 Peano 余项 当x0 0时的泰勒公式 又称为马克劳林公式 具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成 二 函数的泰勒展开式举例 例 求f x ex的n阶麦克劳林公式 解 例 求f x sinx的n阶麦克劳林公式 解 例 求f x ln 1 x 的n阶麦克劳林公式 解 第四节 函数的单调性与极值 一 函数的单调性 定理1 设f x C a b 且在 a b 内可导 则 1 若对任意x a b 有f x 0 则f x 在 a b 上 严格单调增加 2 若对任意x a b 有f x 0 则f x 在 a b 上 严格单调减少 证 对任意x1 x2 a b

11、 设x10 x 2 2 所以y sinx在 2 2 上严格单调增加 例 证明y sinx 在 2 2 上严格单调增加 函数单调增减区间的分界点是导数为零的点或导 数不存在的点 如果函数在定义域区间上连续 除去有限个导数不 存在的点外导数存在 那么只要用f x 0的点及f x 不 存在的点来划分函数的定义域区间 在每一区间上判别 导数的符号 便可求得函数的单调增减区间 例 证 二 函数的极值 定义1 设f x 在x0的某邻域U x0 内有定义 若对任意 x x0 有 f x f x0 f x f x0 则称f x 在点x0处取得极大值 极小值 f x0 称为极大 值点 极小值点 极大值和极小值统

12、称为 极值 极大值点和极小值 点统称为极值点 通常称f x 0的根为函数f x 的驻点 可导函数的极值点一定是驻点 例 解 例 解 第五节 最优化问题 求一个函数 称为目标函数 的最大值或最小值问题 例 解 一 最大利润与最小成本问题 设某种产品的总成本函数为C Q 总收益函数为 R Q Q为产量 则总利润L可表示为 L Q R Q C Q 假如L Q 在 0 内二阶可导 则要使利润最大 必须使产量Q满足条件L Q 0 即 R Q C Q 表明产出的边际收益等于边际成本 还要求L Q R Q C Q 0 即 R Q C Q 最大利润原则 亏损最小原则 单位成本 即平均成本 最小的问题 设某种产

13、品的总成本为C Q 则生产的平均成本为 最小 必须使产量Q满足条件 表明产出的边际成本等于平均成本 例 解 总收益 R Q PQ 60Q 总利润 L Q R Q C Q 令L Q 0 得唯一驻点Q0 200 又L Q0 L 200 0 6 0 所以当日产量为Q0 200单位时可获最大利润 最大利润为 L 200 3000 元 二 库存问题 假定计划期内货物的总需求为R 考虑分n次均匀 进货且不允许缺货的进货模型 设计划期为T天 待求的进货次数为n 那么每次进 货的批量为q 进货周期为t 再设每件物品 贮存一天的费用为c1 每次进货的费用为c2 在计划期 T天 内总费用 E由两部分组成 1 进货

14、费 2 贮存费 于是总费用E可表示为批量q的函数 最优批量q 应使一元函数E f q 达到极小值 最优进货次数为 最优进货周期 最小总费用 三 复利问题 例 设林场的林木价值是时间t的增函数V 又设 在树木生长期间保养费用为零 试求最佳伐木出售的 时间 解 如果考虑到资金的时间因素 晚砍伐所得收益 与早砍伐所得收益不能简单相比 而应折成现值 设年利率为r 则在时刻t伐木所得收益V t 的 现值 按连续复利计算应为 四 其他优化问题 例 巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作 她的 第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道 可使 车流量最大 经观测 她找到了一个很好的描述平均车 速v km h

15、 与车流量f v 辆 秒 关系的数学模型 试问 平均车速多大时 车流量最大 最大车流量是多少 解 得唯一驻点v 26 15 km h 由于这是一个实际 问题 所以函数的最大值必存在 当车速 v 26 15km h时 车流量最大 且最大车流量为 f 26 15 8 8 辆 秒 第六节 函数的凸性 曲线的拐点及渐近线 一 函数的凸性 曲线的拐点 在 0 上都是单调的 但它们增 长方式不同 从几何上来说 两 条曲线弯曲方向不同 函数图形向上或向下凸的性质 称为函数的凸性 向下凸的曲线 其上任意两点间的弧段总位于联结两 点的弦的下方 向上凸的情形正好相反 在曲线y f x 上任取两点 x1 y1 和

16、x2 y2 设x10 则f x 在 a b 上是严格下凸的 2 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上是严格上凸的 例 解 定义2 设f x C U x0 若曲线y f x 在点 x0 f x0 的左 右两侧凸性相反 则称点 x0 f x0 为该曲线的拐点 例 解 若 x0 f x0 是曲线y f x 的拐点 则f x0 0或 f x0 不存在 二 曲线的渐近线 1 水平渐近线 定义3 设函数y f x 的定义域为无限区间 如果 f x A或 f x A A为常数 则称直线y A为曲线 y f x 的水平渐近线 例 解 2 垂直渐近线 定义4 设函数y f x 在点x0处间断 如果 f x 或 f x 则称直线x x0为曲线y f x 的垂直渐近线 例 解 3 斜渐近线 定义5 设函数y f x 的定义域为无限区间 且它与直线 y ax b有如下关系 f x ax b 0 或 f x ax b 0 则称直线y ax b为曲线y f x 的斜渐近线 例 解 三 函数图形的描绘 1 确定y f x 的定义域 3 求出f x 0和f x 0的根及其不存在的点 并将 它们作为分点