第章波动以及声

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1、章波动和声 10 1波的基本概念 10 1 1波是振动状态的传播 10 1 2多种多样的波 10 1 3平面波与球面波 波动 是振动 相位 的传播 简称波 振动 机械振动 电磁振动 波 机械波 电磁波 第十章 波动和声 10 1 波的基本概念 10 1 1 波是振动状态的传播 机械波产生的条件 振源和弹性介质 弹性介质 由弹性力组合的连续介质 正弹性力 压 张 液体 气体 固体 弹性力 切弹性力 固体 10 1 2 多种多样的波 横波 1 横波与纵波 纵波 纵波 振动方向与传播方向相同 如声波 t 0 t T 4 t T 2 t 3T 4 t T 147101316 动画演示 横波 各振动方向

2、与传播方向垂直 如电磁波 t 0 t T 4 t T 2 t 3T 4 t T 147101316 质点完成一次振动 波刚好传播了一个波形 动画演示 2 水面波 水面波是由于表面张力和重力作用的结果 并非弹性波 O y 水面平 衡位置 10 1 3 平面波与球面波 波线 波射线 波的传播方向用线表示 波面 相面 波阵面 振动相位相同点 的轨迹 波前 某时刻处在最前面的波面 在各向同性均匀介质中 波线与波阵面垂直 波面 波线 球面波平面波 波线 波面 10 2 平面简谐波方程 10 2 1 平面简谐波方程 10 2 2 平面简谐波方程的多种形式 10 2 平面简谐波方程 10 2 1 平面简谐波

3、方程 以横波为例建立 y f x t 简谐波 简谐振动在媒质中的传播 数学描述 y f x t 1 简谐波的运动学方程 仅讨论 无损耗 无限大媒介 无反射波介入 设简谐波沿正 x 方向传播 行波 相位逐点传波的波 设 t 时刻O点振动表达式 求同一时刻任意点x的振动 角频率 圆频率 其中 y 是质点在y方向上的位移 A 振幅 O点振动传到 x 点需用时 相位落后 x点的运动方程 10 2 1 若波向负x方向传播 P点运动传到 O 点需用时 P点的相位超前于O点相位 平面谐波一般表达式 负 正 号代表向 x 正 负 向传播的谐波 2 讨论 位移 y 既是 t 的函数 又是 x 的函数 1 当 x

4、 一定时 令 x x0 表达式变成 y t 关系 是 x0 点的振动方程 x0相位比 x 0 点落后 T t y A A O 所以式 10 2 1 反映了介质中各点的运动规律 2 t一定 统观波线上所有质点 这时 y 仅为 x 的周期函数 当 t t0 时 表达式变成 y x 关系 表达了 t t0 时刻空间各点的 位移分布 波形图 y x O t 时刻的波形曲线 3 x t 均变 具有波动意义 即 各质点各自振动 波形向前传播 y x1 x y1 t 时刻 t t 时刻 x2 如图 因振动频率不变 所以这两点相位相同 即 整理得 v 就是波形向前传播的速度 也是相位的传播速度 所以也称v为相

5、速 令 波数 波长 波速与频率之间的关系为 波在空间的周期性 波在时间上的周期性 通过波速v 联系起来 10 2 2平面简谐波方程的多种形式 利用 因此下述几式等价 例题1 平面简谐波方程为 如何将此方程化成为最简形式 选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标 原点 对新原点平衡位置为x 的某体元在t时刻的相位为 解 移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始 相位为零 1 移动坐标原点 此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为x 在t 时刻的 相位为 表明坐标原点应沿x轴正向移动 由此得 所以 2 改变计时起点 由此可得 表明计时起点应向前移六分之一周期 例题2 有一列向 x 轴正方向传播的平面

6、简谐波 它 在t 0时刻的波形如图所示 其波速为u 600 m s 试 写出波动方程 x m y m 5 12 O 5mA24m 原点处质点的振动方程为 波动方程为 解 10 3 波动方程与波速 10 3 1 波动方程 10 3 2 波速 色散 10 3 波动方程与波速 10 3 1 波动方程 波动方程 由动力学规律得到的概括振动传播 规律的方程 以平面横波为例讨论 O x y x x y x 设横波沿x方向传播 体元横截面积S 密度 x 处 由胡克定律 在忽略高级无穷小量时 有 又 横波的波动方程 纵波的波动方程 横波的波动方程 柔软弦中的横波 对于一维简谐波 10 3 2 波速 色散 在密

7、度为 扬氏模量为E的介质传播的纵波的波 速公式为 传播的横波的波速公式为 在同一种固体媒质中 横波波速比纵波波速小些 弦中横波的波速 在液体和气体只能传播纵波 在液体和气体中波速为 K为媒质的体变弹性模量 为质量密度 理想气体纵波波速 声速 为气体的摩尔质量 R为摩尔气体常数 T为热力学温度 是气体的比热容比 波速与温度有关 深水波的波速依赖于频率 这种现象称色散 深水波 浅水波 10 4 平均能流密度 声强与声压 10 4 1 介质中的能量分布 10 4 2 平均能流密度 10 4 3 声强与声强级 10 4 4 声压 声强和声压的关系 10 4 5 声波的衰减 超声波的优势 10 4 6

8、波的反射和透射 半波损失 10 4 平均能流密度 声强与声压 10 4 1 介质中的能量分布 1 波的能量 每个体元振动所具有的动能 之和 2 能量密度 每个体元形变所具有的势能 波场中单位体积的能量 体元振动的动能 3 细棒中机械横波能量密度 体元质量 m dV y O 体元形变势能 弹性力关系 切变模量 若细棒中传播的是简谐波 又 体元总机械能 2 E 最大值出现在形变最大处 1 Ek Ep 随时间周期性变化 周期为波动周期的一半 即 T 4 讨论 波形 极大 极小 3 波动的能量与振动能量是有区别的 平均能量密度 能量密度 普适结论 平均能流密度 单位时间通过垂直于波的传播 方向上单位面

9、积的平均能量 1 平均能流密度 简称能流密度 或波强 坡印廷矢量 平均能流密度是矢量 方向沿波的传播方向 10 4 2 平均能流密度 2 波的功率P 平均能流 功率 单位时间通过截面 S 的平均能量 S为任意曲面时 波源功率 S与I垂直P IS S与I不垂直 I与S法向成 角 P IS cos 证明 平面波 在垂直于I方向取两平面 S1 S2 所以 平面波振幅相等 求证 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在 行进方向上振幅不变 得证 对球面波 P1 P2 即 I1 S1 I2 S2 球面波 即振幅与离波源的距离成反比 球面简谐波的波函数 声波 能引起听觉的机械波 声波 次声波 超声波 人的听

10、觉与频率和声强有关 最低声强 闻阈 I0 10 12W m2 约1000Hz 最高声强 痛阈 I 10W m2 约1000Hz 声强 声波的波强 10 4 3 声强与声强级 声强级 人耳所感受到的声音的响度 声波传播的速度几乎与频率无关 而速度与介 质的密度有关 所以声波传播的速度对于温度和压 强的变化很敏感 定义声强级 I0为人耳听得到的最小声强 标准声强 红线为等响度线 语言区域 痛阈 闻阈 HZ 201000500100500010000 0 20 40 60 80 100 120 10 2 10 4 10 6 100 10 8 10 10 10 12 L db I W m 2 引起痛觉

11、的声音 炮 声 铆 钉 机 交通繁忙的亍道 通 常 谈 话 耳 语 引起听觉的最低声音 树叶沙沙声 声 源声强 W m 2 1 1 10 2 10 5 10 6 10 10 10 11 10 12 声强级 dB 震耳 响 正常 轻 极轻 120 100 70 60 20 10 0 120 10 4 4 声压 声强和声压的关系 波不仅传递能量还传递动量 伴随波的传播 还存在压强的传播 声压 p是有声波传播的空间某一点在某一瞬时的压强 p0是没有声波时的压强 x y O e f f yayb aa bb yc cc d 设简谐波方程 体元速度 声压波方程可表示为 声压幅 若波沿负x方向传播 波阻

12、或 波在介质中传播时 波强逐渐减弱 10 4 5 声波的衰减 超声波的优势 声强级 I 入射初始声强 Id 深入介质d 距离处的声强 衰减系数 1MHz频率超声波经过几种介质的衰减系数 介质质 0 dB cm 1 空气10 铝铝0 02 骨骼3 10 蓖麻油1 肺40 肌肉1 5 2 5 一种有机玻璃2 软组织软组织0 3 1 5 水0 002 10 4 6 波的反射和透射 半波损失 反射系数 透射系数 Z大 波密介质 Z小 波疏介质 入射波在反射时 发生反向的现象称为 半波损失 有半波损失 Z大 Z小 无半波损失 Z大 Z小 入射波 反射波 透射波 介质1 Z1小 介质2 Z2大 界面 入射

13、波 反射波 透射波 介质1 Z1大 介质2 Z2小 界面 脉冲波在界面处的反射和透射 例题1 如图 沿 x 轴传播的平面简谐波方程为 隔开两种介质的反射界面 A与坐标原点O相距 2 25 m 设反射端两侧波阻相差悬殊且可视为固定端 求反射波方程 SI A Ox y 12 反射波在O点比在A点落后 解 因两侧波阻相差悬殊 可认为反射波入射波振幅相同 入射波在 A 点比 O 点落后 固定端反射 有半波损失 因此 反射波在坐标原点的 相位比入射波在该点的相位落后 反射波方程 200m s 100Hz 而已知入射波在坐标原点的初相位为零 故 SI 10 5 波的叠加和干涉 驻波 10 5 1 波的叠加

14、 群速 10 5 2 波的干涉 10 5 3 驻波 10 5 4 弦与空气柱的本征振动 波的叠加原理 当几列波在介质中的某点相遇时 该质元的振动位移等于各列波单独传播时在该处引起 的位移的矢量和 10 5 波的叠加和干涉 驻波 10 5 1 波的叠加 群速 1 波的叠加原理 注 此原理只适用于线性行波 对非线性行波 如 爆炸 不适用 重要性 可将任一复杂的线性行波分解为简谐波 的叠加 若 y1 y2 分别是它的解 则 y1 y2 也是它的解 即波动方程遵从叠加原理 波的叠加原理的基础是波动方程为线性微分方程 2 群速 群速度 合成波任一给定振幅传播的速度 在有色散的介质中 群速度 相速度 下面

15、先来讨论两个频率相近 振幅相同的简谐波 的同向叠加 振幅被调制的波包的速度 即群速 x a x b 相速度 波在无色散的介质中传播 波的 干涉 之模 拟演 示图 10 5 2 波的干涉 两束叠加的波在交迭区域某些点处振幅始终 最大 另一些位置振幅始终最小 而其它位置 振动的强弱介乎二者之间 保持不变 称这种稳定 的叠加图样为干涉现象 1 波的干涉 2 相干条件 得到干涉所要求的条件 具有恒定的相位差 振动方向相同 两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显 两波源具有相同的频率 满足相干条件的波 叫相干波 波源叫相干波源 叠加叫相干叠加 设有两个频率相同的波源S1和S2 其振动表达式为 3 强度计

16、算 传播到 P 点引起的振动为 在P点的振动为 合振动的强度为 对空间不同的位置 都有恒定的 因而 合强度在空间形成稳定的分布 干涉特点 其中 干涉相长 强度最强点 4 干涉加强 减弱条件 干涉相消 强度最弱点 当两相干波源为同相波源时 相干条件写为 相长干涉 相消干涉 波程差 干涉是能量的重新分布 实现干涉的艰难任务是实现初相差恒定 1 形成 驻波 沿相反方向传播的两列等幅相干波的叠加 10 5 3 驻波 动画演示 2 驻波特点 各质点的振幅各不相同 位移恒为零 波节 振幅始终最大 波腹 在波节 波腹之间各点作稳定的振动 其A有 0 A 2A 1 振幅特点 波节波腹 2 2 两相邻波节之间的各质元振动相位相同 每 一波节两侧各质元的振动相位相反 在驻波中却没有能量的定向传递 2 相位特点 3 定量计算 振幅因子 谐振因子 1 驻波是各点振幅不同的简谐振动的集体 波腹 振幅取最大值 波节 振幅为零 波节处的质元静止不动 相邻两波腹间或两波节间的距离均为半个波长 2 相位 相邻波节的坐标 代入振幅因子 中得 相邻波节间各体元余弦同号 即具有相同的相位 相邻波腹的坐标 代入驻波方程中 中得