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1、 20 1 平行四边形的判定 根据图示 回答下列问题 1 两组 分别 的四边形是平行四边形 AB AD 四边形ABCD是平行四边形 对边相等 CDBC 点拨 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形是平行 四边形 也可作为平行四边形的判定方法 2 一组对边 且 的四边形是平行四边形 AB AB 四边形ABCD是平行四边形 3 对角线 的四边形是平行四边形 AO BO 四边形ABCD是平行四边形 平行相等 CDCD 互相平分 CODO 4 两组 分别 的四边形是平行四边形 ABC BAD 四边形ABCD是平行四边形 对角相等 ADC BCD 归纳 平行四边形的判定可以从对边 对角 对角线三个角
2、 度来分析 预习思考 一组对角相等的四边形是平行四边形吗 提示 不是 平行四边形的判定 例1 已知 E F是四边形ABCD的对角线AC上的两点 AE CF BE DF BE DF 求证 四边形ABCD是平行四边形 解题探究 若证四边形ABCD是平行四边形 根据题中的条件 可以证明 AB CD 需证 ABE CDF 从而得出AB CD BAE DCF 进而得出AB CD 已知AE CF BE DF 需证 AEB CFD BE DF BEF DFE AEB CFD 问题得证 互动探究 在判定一个四边形是平行四边形时 若已知一组对边平行 则还需证明什么条件 提示 证明这一组对边相等或另一组对边平行
3、规律总结 平行四边形的判定口诀 要证平行四边形 两个条件才能行 一证对边都相等 或证对 边都平行 一组对边也可以 必须相等且平行 对角线 是个 宝 互相平分 跑不了 对角相等也有用 两组对角 才 能成 跟踪训练 1 四边形ABCD中 AD BC 要使四边形ABCD为平行四边形 需要增加条件 只需填上一个你认为正确的即可 解析 由AD BC 可以添加条件AD BC或AB CD或 A C 可以使四边形ABCD为平行四边形 答案 AD BC 或AB CD或 A C 2 2012 朝阳中考 如图 在四边形ABCD中 E是BC边的中点 连 接DE并延长 交AB的延长线于F点 AB BF 请你添加一个条件
4、 不 需要添加任何线段或字母 使之能推出四边形ABCD为平行四边 形 请证明 你添加的条件是 解析 添加的条件是 CD AB 除此条件外 其他条件能证明 四边形ABCD为平行四边形的均可 证明 CD AB CDE BFE 又 EC BE DEC FEB CED BEF CD BF 又 AB BF AB CD 四边形ABCD是平行四边形 答案 CD AB 答案不唯一 3 如图 E F是平行四边形ABCD的对角 线AC上的点 CE AF 请你猜想 BE与 DF有怎样的位置关系和数量关系 并 对你的猜想加以证明 解析 BE DF且BE DF 连结BD 交AC于点O 连结DE BF 四边形ABCD是平
5、行四边形 BO OD AO CO 又 AF CE AE CF EO FO 四边形BEDF是平行四边形 BE DF且BE DF 平行四边形的判定的应用 例2 6分 李大伯家有一口如图所示 的四边形的池塘 在它的四个角上均有 一棵大柳树 李大伯开挖池塘 使池塘 面积扩大一倍 又想保持柳树不动 如果要求新池塘成平行四 边形的形状 请问李大伯的愿望能否实现 若能 请画出你的设 计图 并说明理由 若不能 请说明理由 规范解答 能 1分 理由如下 连结AC和BD交于点O 过点A和点C分别作BD的平行线 过点B和点D分别作AC的平行线 则四边形EFGH即是要求的图形 如图 3分 理由 EF AC HG EH
6、 BD FG 四边形AEBO 四边形BFCO 四边形DOCG 四边形AODH是平行四边形 4分 根据平行四边形的性质 得 S AEB S AOB S AHD S AOD S FBC S OBC S CGD S COD 5分 四边形EFGH的面积为四边形ABCD的面积的两倍 6分 规律总结 平行四边形判定的应用解题时的两个步骤 1 判定一个四边形是平行四边形 2 利用平行四边形的性质解决有关问题 跟踪训练 4 工人师傅现在需要把一块三角形的铁板 如图 通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形 你能帮助他设计一种可行的方案吗 请在图中画出 焊接线 并说明你的理由 解析 设计的方案如图所示 可分别
7、取AB AC边的中点D E 连结DE 过点C作CF AB 交DE的延长线于F 把 ABC沿DE切割后 补在 CFE的位置上 就可焊接成 BCFD 理由如下 E是AC的中点 AE CE CF AB ADF F 又 AED CEF ADE CFE AD CF D是AB的中点 AD BD 故BD CF 又 CF AB 四边形BCFD是平行四边 形 5 小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用了下面的方法 将两 根同样长的木条AB CD平行放置 再用木条AD BC加固 得到 的四边形ABCD就是平行四边形 小明的爸爸这样做行吗 说明 理由 解析 小明的爸爸这样做行 理由如下 由题意知 AB CD AB C
8、D 四边形ABCD是平行四边形 1 以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形 最多能 作 A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 解析 选B 假设三点为A B C 分别以AB AC BC为对角 线 可以作出三个平行四边形 分别为 ACBD1 ABCD2和 ABD3C 如图 2 如图 在 ABCD中 对角线AC BD相交于O E F是对角线AC上的 两点 当E F满足下列哪个条件 时 四边形DEBF不一定是平行四 边形 A AE CF B DE BF C ADE CBF D AED CFB 解析 选B A中能得到OE OF 由OB OD从而证明其为平行四边 形 C中能证明 ADE CBF 得AE
9、 CF 同A一样 D中也能证 明 ADE CBF 3 把两个全等的非等腰三角形拼成平行四边形 可拼成的不同 平行四边形的个数为 个 解析 两个全等的三角形拼在一起 必须把相等的边重合 故有三种拼法 而每种拼法中有两种情况 一种拼成平行四边 形 另一种不是平行四边形 是一个轴对称图形 故可拼成三 个不同的平行四边形 答案 3 4 如图所示 在 ABCD中 E F分别是对 角线BD上的两点 且BE DF 要证明四边 形AECF是平行四边形 最简单的方法是 根据 来证明 解析 连结AC交BD于点O 则OA OC OB OD 又BE DF OE OF 四边形AECF为平行四边形 故用两条对角线互相平分的四 边形是平行四边形来证明较简单 答案 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 5 2012 徐州中考 如图 C为AB的中点 四边形ACDE为平行四边 形 BE与CD相交于点F 求证 EF BF 证明 连结EC DB 在 ACDE中 AC DE 又C是AB的中点 即AC BC DE BC 四边形BDEC是平行四边形 EF BF
