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1、突破疑难点列1 函数与导数突破疑难点1构造函数证明不等式构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)转化为证明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln xx1，exx1，ln xxex(x0)，ln(x1)x(x1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、
2、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解方法高考示例思维过程直接构造法(2018全国卷)已知函数f(x)xaln x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：a2.(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10(函数在极值点处的导数为0)，所以x1x21.不妨设x1x2，则x21(注意原函数的定义域)由于1a2a2a，所以a2等
3、价于x22ln x20.【关键1：将所证不等式进行变形与化简】设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)单调递减，【关键2：直接构造函数，判断函数单调性】又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0，所以x22ln x20，即a2.【关键3：结合单调性得到函数最值，证明不等式】放缩构造法(2018全国卷)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.(2)证明：当a时，f(x)ln x1.【关键1：利用不等式性质放缩，将a代换掉】设g(x)ln x1，【关键2：利用不等式右边构造函数】则g(x).
4、当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点【关键3：利用导数研究函数的单调性、最值】故当x0时，g(x)g(1)0.【关键4：利用函数最值使放缩后的不等式得到证明】因此，当a时，f(x)0.构造双函数法(2014全国卷)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2. (1)求a，b；(2)证明：f(x)1.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.【关键1：将所证不等式等价转化，为构造双函数创造条件】设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x，所以当x时，g(x)0
5、；当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.【关键2：构造函数，利用导数研究函数的单调性，求最小值】设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而h(x)在(0，)上的最大值为h(1).【关键3：构造函数，利用导数研究函数的单调性，求最大值】因为g(x)mingh(1)h(x)max，所以当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.【关键4：利用函数最值证明不等式】突破疑难点2利用分类讨论法确定参数取值范围一般地，若af(x
6、)对xD恒成立，则只需af(x)max；若af(x)对xD恒成立，则只需af(x)min.若存在x0D，使af(x0)成立，则只需af(x)min；若存在x0D，使af(x0)成立，则只需af(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需
7、要设出导函数的零点，难度较大方法高考示例思维过程结合导函数的零点分类讨论(2017全国卷)已知函数f(x)x1aln x(1)若f(x)0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，m，求m的最小值.(1)f(x)的定义域为(0，)(求函数定义域)若a0，因为faln 20，所以不满足题意【关键1：利用原函数解析式的特点确定分类标准】若a0，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0.所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增【关键2：根据导函数的零点分类讨论】故xa是f(x)在(0，)上的唯一最小值点由于f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x
8、)0，故a1.结合导函数的零点分类讨论(2015全国卷)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围.(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即【关键1：利用充要条件把不等式恒成立等价转化】设函数g(t)ette1，则g(t)et1.【关键2：直接构造函数，并求导】当t0时，g(t)0；当t0时，g(t)0.故g(t)在(，0)上
9、单调递减，在(0，)上单调递增又g(1)0，g(1)e12e0，故当t1,1时，g(t)0.【关键3：根据导函数的零点分类讨论】故当m1,1时，g(m)0，g(m)0，即式成立；当m1时，由g(t)的单调性，知g(m)0，即emme1；当m1时，g(m)0，即emme1.【关键4：通过分类讨论得到参数的取值范围】综上，m的取值范围是1,1.由导函数的特点直接分类讨论(2014全国卷)函数f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围.(2)当a0，x0时，f(x)3ax26x30.【关键1：函数求导，根据导函数的特点确定分类
10、标准】故当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数，当且仅当f(1)0且f(2)0，解得a0.【关键2：利用导数判断函数的单调性，结合需满足的条件，求解关于参数的不等式，得到参数的取值范围】综上，a的取值范围是(0，).突破疑难点3两法破解函数零点个数问题两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图像在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0.直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)f(b)0；分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证
11、明f(a)f(b)0.方法高考示例思维过程直接法(2017全国卷)已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0. (1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22.(2)证明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x设h(x)2x2ln x，则h(x)2.当x时，h(x)0；当x时，h(x)0.所以h(x)在上单调递减，在上单调递增【关键1：构造函数，利用导数研究函数的单调性】又h(e2)0，h0，h(1)0，所以h(x)在上有唯一零点x0，在上有唯一零点1，【关键2：利用零点存在性定理判断导函数零点的位置】且当x(0，x0)时，h(x)0；
12、当x(x0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0得f(x0).【关键3：求二次函数值域得到f(x0)的范围】因为xx0是f(x)在(0,1)上的最大值点，由e1(0,1)，f(e1)0得f(x0)f(e1)e2，所以e2f(x0)22.【关键4：利用函数最值证明不等式】分类讨论法(2015全国卷)已知函数f(x)x3ax，g(x)ln x(1)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，
13、g(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数.(2)当x(1，)时，g(x)ln x0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)上无零点【关键1：对x的取值分类讨论，适当放缩，判断h(x)的符号，确定函数零点个数】当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点；若a，则f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0，故x1不是h(x)的零点【关键2：当x的取值固定时，对参数a的取值分类讨论，确定函数值的符号得到零点个数】当x(0,1)时，g(x)ln x0，所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数()若a3
14、或a0，则f(x)3x2a在(0,1)上无零点，故f(x)在(0,1)上单调而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在(0,1)上有一个零点；当a0时， f(x)在(0,1)上没有零点()若3a0，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，故在(0,1)上，当x时，f(x)取得最小值，最小值为f.若f0，即a0，则f(x)在(0,1)上无零点；若f0，即a，则f(x)在(0,1)上有唯一零点；若f0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以当a时，f(x)在(0,1)上有两个零点；当3a时，f(x)在(0,1)上有一个零点【关键3：当x的取值固定在一个范围内时，对参数a的取值分类讨论，利用函数单调性、最值、零点存在性定理得到零点个数】综上，当a或a时，h(x)有一个零点；当a或a
