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1、第6讲不等式选讲 1 常用的证明不等式的方法 1 比较法 比较法包括作差比较法和作商比较法 2 综合法 利用某些已经证明过的不等式 例如算术平均数与 几何平均数的定理 和不等式的性质 推导出所要证明的不等式 3 分析法 证明不等式时 有时可以从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判定这 些充分条件是否具备的问题 如果能够肯定这些充分条件都已具 备 那么就可以断定原不等式成立 4 反证法 可以从正难则反的角度考虑 即要证明不等式 A B 先假设 A B 由题设及其它性质 推出矛盾 从而肯定 A B 凡涉 及的证明不等式为否定命题 唯一性命题或含有 至多 至 少 不
2、存在 不可能 等词语时 可以考虑用反证法 5 放缩法 要证明不等式 A0 f x a a f x a f x a 2 理解绝对值的几何意义 a b a b a b x 1 xb 应假设为 A a bB a bC a bD a b D 2 2010 年广东广州测试 若关于 x 的不等式 x a 1 的解集为 5 2010 年陕西 不等式 2x 1 x 的解集为 考点1比较法证明不等式 证明 a b 1 ax2 by2 ax by 2 ax2 by2 a2x2 2abxy b2y2 a 1 a x2 b 1 b y2 2abxy abx2 bay2 2abxy ab x y 2 又a b R ab
3、 x y 2 0 ax2 by2 ax by 2 比较法证不等式步骤可归纳为 第一步 作差并化简 其化简目标应是 n 个因式之积或完全 平方式或常数的形式 第二步 判断差值与零的大小关系 必要时须进行讨论 第三步 得出结论 考点2 综合法证明不等式 利用某些已经证明的不等式和不等式的性质时要 注意它们各自成立的条件 综合法证明不等式的逻辑关系是 A B1 B2 Bn B 及从已知条件A 出发 逐步推演不等式成立 的必要条件 推导出所要证明的结论B 考点3 分析法证明不等式 分析法证明不等式 就是 执果索因 从所证的 不等式出发 不断用充分条件代替前面的不等式 直至使不等式 成立的条件已具备 就
4、断定原不等式成立 当证题不知从何入手 时 有时可以运用分析法而获得解决 特别对于条件简单而结论 复杂的题目往往是行之有效的方法 用分析法论证 若 A 则 B 这个命题的模式是 欲证命题 B 为真 只需证明命题B1为真 从而又只需证明命题B2为真 从而 又 只需证明命题A 为真 今已知A 真 故B 必真 简写为 B B1 B2 Bn A 考点4 利用放缩法证明不等式时应把握好度 要证A B 可适当选择一个C 使得C B 反 之亦然 主要应用于不等式两边差异较大时的证明 一般的放缩 技巧有 分式放缩 固定分子 放缩分母 固定分母 放缩分子 多见于分式类不等式的证明 添舍放缩 视情况丢掉或增多一些项
5、进行放缩 多见于整 式或根式配方后需要放缩的不等式的证明 考点5解绝对值不等式 A 0 2 B 0 A C 2 D 0 0 x 2 解析 考查绝对值不等式的化简 绝对值大于本身 值为负 数 x 2 2 求函数y f x 的最小值 对于比较复杂的含绝对值不等式的问题 若用常 规解法需分类讨论 去掉绝对值符号 解法繁琐 而灵活运用绝 对值的几何意义 往往能简便 巧妙地将问题解决 互动探究 1 若不等式 x 4 x 3 7B 1 a1D a 1 2 2010 年广东佛山检测 若不等式 x a x 2 1 对任意 实数 x 均成立 则实数 a 的取值范围为 解析 设y x a x 2 则ymin a
6、2 因为不等式 x a x 2 1对 x R恒成立 所以 a 2 1 解得 a 3 或a 1 1 利用比较法证明不等式时 为了判断作差后的符号 有时 要把这个差变形为一个常数 或者变形为一个常数与一个或几个 平方和的形式 也可变形为几个因式的积的形式 以便判断其正 负 2 放缩法证明不等式的理论依据主要有 1 不等式的传递性 2 等量加不等量为不等量 3 同分子 分母 异分母 分子 的两个分 式大小的比较 常用的放缩技巧有 舍掉 或加进 一些项 在 分式中放大或缩小分子或分母 应用均值不等式进行放缩 3 特别注意 对于含绝对值的不等式 从 2010 年高考开始 由选考内容改为必考内容 成为这两
7、年高考的热点 特别是 2010 年的压轴题就是绝对值不等式 应掌握绝对值不等式的解法和利 用 a b a b a b 证明不等式的基本方法 4 含绝对值不等式的解法 等价转化法 分类讨论法及平方 法 5 理解绝对值的几何意义 并了解下列不等式成立的几何意 义及取等号的条件 a b a b a b R a b a c c b a b R 1 分析法和综合法是对立统一的两种方法 分析法的证明过 程 恰好是综合法的分析 思考过程 即综合法是分析法的逆过 程 混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍 要注意两种证 明方法的书写格式 否则易产生逻辑上的错误 利用反证法证明 问题是从否定结论入手的 没有使用假设命题而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 2 应用定理 a b a b a b 求解基本问题时 要注意 等号成立的条件 特别注意不等式 a b a b 当且仅当 ab 0 时 等号成立
