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1、第二章 弹性力学平面问题有限元法 2 1 有限元法的基本思想及优越性 1 在应用有限元法时 我们首先将一个连续的弹性体看作由许多 尺寸有限的小单元 有限元组成 这就是所谓区域划分 在数学上称为 离散化 2 根据计算对象的简化模型 单元的形状 取成平面三角形或四 边形 四面体或六面体等 单元与单元之间 通过若干个称为 节点 的点铰接相连 由此组合成整体 3 以一个个小单元为计算单位 首先进行单元分析 然后把它们 组装起来 进行整体分析 最后求出结构的近似解 这种把复杂结构看成有限个单元组成的整体 就是有限元法的基本思想 有限元法是从基于能量的变分法发展而来的 如应用最 小势能原理的雷利 里兹法
2、当按位移求解时 它首先要寻 找一个满足整个弹性体几何边界条件的位移函数 这对工程 实际问题往往有困难 而用有限元法时 将结构进行离散 从一个个单元入手 只要假设单元上的分片插值函数 然后综合起来 代替整 个域上的位移函数 这就使问题大为简便和灵活 因此 有限元法是以变分原理和分片插值为基础的 得到的是近似解 v 1 有限元法直接在力学模型上进行离散化 剖分 v 物理概念清晰 明白易懂 v 2 有限元法有较好的适应性 对于简单问题和复杂问 题 v 基本上同等处理 v 3 有限元法的各个计算步骤 如单元分析 总体分析 和 v 方程解算等都较易标准化和程式化 有一套比较固 定 v 的分析顺序 目前已
3、发展成各种通用程序 便于掌 握 v 和使用 有限元法应用于应力分析 按所选取的未知量不同可分为三类 1 位移法 取节点位移作为基本未知量 2 力 法 取节点力 作为基本未知量 3 混合法 取一部分节点位移和一部分节点力 作为基本未知量 在推导有限元方程时 主要有两种方法 直接法 如直接刚度法 变分法 如固体力学中的最小势能原理和最小余能原理 把问题 归结为求泛函的极值问题 作为初步介绍 我们将以直接刚度法来讨论弹性力学平面问 题中的有限元法概念 有限元模型是真实系统理想化的数学抽象 真实系统有限元模型 节点和单元 节点 空间中的坐标位置 具有一定自由 度和存在相互物理作用 单元 一组节点自由度
4、间相互作用的数值矩 阵描述 称为刚度或系数矩阵 单元有线 面或实体以及二维或三维的单元 等种类 载荷 载荷 7 有限元模型由一些简单形状的单元组成 单元之间通过节点连 接 并承受一定载荷 v1 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的 v2 作为一个整体 单元形成了整体结构的数学模型 v3 尽管梯子的有限元模型低于100个方程 即 自由度 然而 在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量 矩阵可能有 25 000 000个刚度系数 节点自由度是随连接该节点单元类型变化的 J I I J J KL I L K I P O M N K J I L 三维杆单元 铰接 UX UY UZ
5、三维梁单元 二维或轴对称实体单元 UX UY 三维四边形壳单元 UX UY UZ 三维实体热单元 TEMP J P O M N K J I L 三维实体结构单元 ROTX ROTY ROTZ ROTX ROTY ROTZ UX UY UZ UX UY UZ 9 用有限元法对弹性力学平面问题进行应力分析 不 仅具有实际意义 而且带有一定的典型性 通过它可以 看到 1 一般情况下此处理问题的方法 2 有限元法的特点 3 使用中的应注意的问题 可为今后进一步的深入研究打下基础 当取节点位移为基本未知量时 有限元法的解题步骤归纳如下 下面我们就按上述顺序介绍 应力 计算 方程 求解 整体 分析 区域
6、剖分 单元 分析 2 2 弹性体的剖分 v 作为用有限元法解决弹性力学问题的第一步 必须 先对弹性体区域进行剖分 v 对于平面问题来说 最简单的方法是用直线将弹性体 区域剖分为有限个三角形或四边形单元 v本章将只讨论三个节点的三角形单元 v 图2 1 剖分要一直进行到弹性区域的边界上 当边界是直线段时 就取其为三角形单元的一条边 当边 界是曲线时 则在每小段上用相应的直线近似地代替曲线而作 为三角形单元的一边 如图2 1 单元分得越小 计算结构越精确 因此 应当在计算机 容量的允许的范围内 尽可能地提高工程上的精确要求 适 当地确定单元的大小和数目 单元的大小和数目要根据精度的要求和计算机容量
7、来确定 1 任意一个三角形单元的顶点 必须同时也是其相邻的三角形 的单元的顶点 如图2 2a 而 不能是其相邻三角形的内点 如图2 2b 图2 2a 图2 2b 具体进行剖分时 一般应注意以下几点 2 尽可能使同一个三角形单元各边的长度相差不太大 此外在三角形单元中最好不要出现钝角 因此 在图2 3a b两种剖分式中 虽然都涉及 到同样的四个顶点 但我们通常都采用a 而不采用b 图2 3a图2 3b 3 在事先估计应力较为集中 应力变化较大的地方 例如孔洞附近以及形状突变的角点等处 单元应 分得小一些 在应力变化比较平缓的地方 如离 开孔洞一定的距离处 单元可以分得比较大一点 如图2 4 图2
8、 4 v有时应力情况事先无法估计 可先采用比较均匀的剖 分法进行一次初算 然后经初算的结果重新合理剖分 再进行第二次计算 或用光弹性的方法事先对应力 场作一个大概的了解 再在此基础上作合理的剖分和 计算 这也是一种常用的方法 4 在厚度或材料常数有突变的地方 除了应把这 些部位的单元分得较小 较密一些以外 还必 须把突变线作为单元的分界线 也就是说 在 一个单元内部 只能包含一个厚度和一种材料 常数 5 当整个弹性体区域在几何上具有对称轴 而载荷又对 称于该轴或反对称于该轴时 则其位移和应力也必然 具有这种对称性质 为了减少计算量 只需取其一部 分作为求解区域进行单元剖分和计算即可 图2 4实
9、际上只取了整个弹性体区域的四分之一 作了这样的剖分之后 再以三角形单元的顶点作为节 点 注意 如果边界上有集中力 则一般将其作用点选定 为节点 然后对单元和节点分别进行编号 编号的顺序不影响计算结果 原则上是可以任意的 但用直接法求解有限元法的基本方程时 从压缩计算机存 储量的角度来看 在对节点编号时应注意 单元的两个相 邻节点编号之差应尽可能地小 因为这个差值就反映在方 程组的系数矩阵 总刚度矩阵 的带宽上 它直接决定了 系数矩阵元素的存储数量 有关问题 以后还要作详细的 说明 2 3 单 元 分 析 v 在进行了弹性体的剖分后 可任取 一单元作为研究对象 v设某三角形单元e的节点编号为i
10、j m 为了在以后的计算中使三角形的面积 不致为负值 规定i j m的次序为逆时 针方向 并设三个节点i j m在右手 坐标系的坐标值分别为 v xi yi xj yj xm ym 如图2 5所示 图2 5 对于平面问题 三个节点的位移分别为 单元的节点位移列阵为 所谓单元分析 就是建立节点位移 基本未知量 和单元 内任意一点的 v位移 f v单元应变 v单元应力 v单元节点力 F e 之间的关系 使 f F e等都用节点位移 e来 表示 如此 则基本未知量 e一经求得 其它各量皆可随之而定 1 节点位移 e 和单元内任意一点位移 f 关系 首先 我们要确定三角形单元内各点的位移变化规律 即当
11、 节点位移确定时 单元内各点的位移应如何插值 设单元内任一点的位移是该点坐标 x y 的线性函数 对于 采用三角形单元的平面问题来说 当单元取得足够小时 取线性 位移插值函数是合理的 即 式中 是待定常数 它们可以由单元的边界条件 即 节点的位移值来确定 为此 只要将节点的坐标值代入式 a 就得到节点的位移值 用克莱姆法则求解线性方程组 b c 得 式中 而 是三角形单元的面积 将式 d e 代入式 a 即得单元的位移插值函数 进行整理后得 若令 为单元的形函数 由式 f 可知 单元内任意点的位移与单元的节点位 移是通过形函数来联系的 而形函数则是点的坐标的线性函数 引入式 2 5 后 式 f
12、 可以表示为 写成矩阵形式就是 式中 为二阶单位矩阵 若 则单元上的位移插值函数可表示为 f N e e 应当指出 任意两个相邻的三角形单元 如图中的 i j m及p j i 它们在i和j点具有相同的位移 我们已假定了位移分量在每一单元中是坐标的线性函数 则在公共边ij上 位移也必然是按同样的线性变化的 因此 在上述两个单元中 公共边ij上各点也都具有相 同的位移 这就保证了相邻单元在公共边界上位移的连续性 也即 弹性体在受力变形后 各单元的边界线上的材料不致产生空 隙或重叠的现象 2 节点位移 e和单元应变分量 的关系 从上一节可知 在取定单元的位移插值函数以后 只要求 得各个节点的位移值
13、则每个单元内各点的位移 因而也是整 个弹性体内各点的位移 即可确定 这一节 我们将联系到平面问题的几何方程和物理方程 来进一步确定单元的应变和应力 由 2 4 式 即可得到用节点位移表示单元任一点的应变表达式 写成矩阵形式 简写为 B e 其中 称为单元的应变矩阵 由于单元的面积 以及各几何参数bi ci cm的值 都 可以由节点坐标直接确定 而且均为常数 因此在每一个单元中 应变分量 x y xy 都是常量 故线性位移插值函数的单元又称为常应变单元 3 节点位移 e和单元应力分量 的关系 由弹性力学已知 平面应力情况下 应力与应变之间的关系可表达为 写成矩阵形式 或缩写成 D 2 12 式中
14、 D 弹性矩阵 在平面应变情况下 弹性矩阵为 将 2 10 式代入 2 12 式 即可得到用节点位移表示的单元 内任意一点应力的表达式 D B e 或写成 S e 式中 S D B 称为应力矩阵 4 节点位移 e和单元节点力 F e的关系 单元刚度矩阵 k 所谓有限元法的 位移法 就是把节点位移作为未知数 而把单元内各点的位移 应力和应变都表达成节点位移的函数 这样 就把全部问题都归纳为求取节点位移的问题了 在弹性力学中 以应力形式表示的物体内部各部分之间的相 互作用力 在有限元法中就相应地以节点力的形式来代替 所谓节点力就是单元周围部分对我们所考虑的那个单元的作用 设三角形单元i j m三个
15、节点上的节点力分量分别为 则单元的节点力列阵为 与应力 应变成线性关系相似 就弹性系统而言 节点位移 和节点力之间 也同样保持线性关系 用矩阵形式表示 或简写成 F e k e e 2 16b 这就是单元节点位移与节点力的表达式 式中 称为单元刚度矩阵 关于它的性质 可以讨论如下 单元刚度矩阵每一列的意义 为了讨论方便 设i 1 j 2 m 3 令u1 1 而v1 u2 v2 u3 v3 0 由 2 16a 式可得 由此可见 单元刚度矩阵的第一列元素表示 当节点1在x方向有单位位移 u1 1 而其它位移为零 v1 u2 v2 u3 v3 0 时 各节点上产生的节点力 如k61 就表示当节点1在
16、x方向有单位位移时 在节点3 y方向产生的 节点力 因单元在这些力作用下处于平衡 所以x方向和y方向的节点力之和分 别为零 其总和亦为零 从而有 k11 k21 k31 k41 k51 k61 0 对于其它各列也有类似的性质 元素kij v下标j表示产生单位位移的节 点序号和方向 vi表示产生节点力的节点序号 和方向 单元刚度矩阵主对角线上的元素为正 例如k11 表示节点1在x方向产生单位位移而其它位移均为零时 必须在节点1 x方向施加的力 该力显然应和位移方向一致 因而k11应为正值 单元刚度矩阵是对称矩阵 它的对称性是由弹性结构的反力互等定理 第j个单位位移分量引起的第i个节点力等于第i个单位位移分 量引起的第j个节点力 得到的 即 通过单元刚度矩阵 k e 建立了单元节点力列阵 F e 与单元节点位移列阵 e之间的关系式 2 16 在有限元法中 必须逐一求出每个单元的单元刚度矩阵 这是计算中必不可少的重要一环 为了求取单元刚度矩阵 我 们应用虚功原理推演它的具体表达式 任取某一单元 虚功原理可简述如下 当处于平衡状态的 单元体发生约束条件所允许的微小虚位移时 则节点力在虚位 移上
