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1、第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间 线性空间 向量 元素 的加法 和数量乘法 向量的加法和数量乘法 长度 夹角等度量性质 几何空间 抽象 几何空间中 向量的长度 非零向量的夹角 1 定义与基本性质 定义 1 设 是实数域 上的线性空间 在 中定义了 一个二元实函数 称为内积 记作 它具有以下性质 1 2 3 4 当且仅当 时 其中 是 中任意的向量 是任意实数 这样的 线性空间 称为欧几里得空间 简称为欧氏空间 定义 2 非负实数 称为向量 的长度 记为 几何空间中 向量的长度 引入 长度 的概念 引入 夹角 的概念 几何空间中 非零向量的夹角 在欧式空间中能否类似定义 柯西 布涅柯夫斯基
2、不等式 当且仅当 线性相关时 等号才成立 对任意的向量 定义 3 非零向量 的夹角 规定为 定义 4 如果向量 的内积为零 即 那么 称为正交或互相垂直 记为 在有限维欧式空间中讨论 设 是 维欧氏空间 是 上的一组基 称矩阵 为基 的度量矩阵 其中 2 标准正交基 定义 5 欧式空间 中一组非零的向量 如果它们两两正 交 就称为一组正交向量组 性质 正交向量组是线性无关的 实例 几何空间 地位 定义 6 在 n 维欧氏空间中 由n 个 向量组成的正交向量组称为正交基 由单位向量组成的正 交基称为标准正交基 性质 1 度量矩阵为单位矩阵 2 存在性 用处 定理 1 在 n 维欧氏空间中任一个正
3、 交向量组都能扩充成一组正交基 如何求标准正交基呢 证明过程实际就是直接求欧氏空间上的正交基 的方法 正交基标准正交基 单位化 已知欧氏空间上的一组基 如何求正交基 定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一 组基 都可以找到一组标准正交基 施密特 Schimidt 正交化过程 线性无关的向量组单位正交向量组 正交化 单位化 例 把 变成单位正交的向量组 标准正交基之间的基变换公式 设 与 是欧氏空间V 中 的两组标准正交基 它们之间的过渡矩阵是 即 定义 7 如果如果 级实矩阵 满足 则称 为正交矩阵 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是 正交矩阵 若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵 且其中 一组
4、基是标准正交基 则另一组基也是标准正交基 3 同构 定义 8 实数域 上欧氏空间 与 如果存在由 到 的一个双射 且对任意的 满足 则称 与 同构 映射 称为 到 的同构映射 性质 同构的欧氏空间必有相同的维数 每个n维的欧氏空间都与 同构 反身性 对称性 传递性 任意两个n维欧式空间都同构 定理 3 两个有限维欧式空间同构的充要条件是 它们的维数相同 4 正交变换 解析几何中的正交变换 就是保持点之间的距 离不变的变换 则称A 为正交变换 定义 9 设A 是欧氏空间 上的线性变换 如果它 保持向量的内积不变 即对于任意的 都有 定理 4 设A 是n维欧氏空间 的一个 线性变换 于是下面四个命
5、题是相互等价的 1 A 是正交变换 2 A 保持向量的长度不变 即对于 3 如果 是标准正交基 那么 也是标准正交基 4 A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 正交变换 正交矩阵 标准正交基 正交变换的性质 正交变换可逆 正交变换的乘积还是正交变换 正交矩阵 正交变换的逆变换还是正交变换 正交矩阵 正交变换的分类 行列式等于 1的正交变换称为旋转 或称为第一类的 行列式等于 1的正交变换称为第二类的 5 子空间 定义 10 设 是欧氏空间 中的 两个子空间 如果对于任意的 恒有 则称 为正交的 记为 一个向量 如果对于任意的 恒有 则称 与子空间 正交 记为 定理 5 如果子空间 两两正交
6、 那么和 是直和 定义 11 如果 并且 则称子空间 的正交补 定理 6 n维欧氏空间 的每一个子空间 都有唯一 为子空间 的一个正交补 记作 推论 恰由所有与 正交的向量组成 6 实对称矩阵的标准形 任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵 即都 存在一个可逆矩阵 使 成对角形 强化 本节主要结果 对于任意一个n级实对称矩阵A 都存在一个n级正交矩阵 T 使 成对角形 要证明这个结果 需要如下准备 引理 1 设A是实对称矩阵 则A的特征值皆为实数 对应于实对称矩阵A 在n维欧氏空间 上定义一个线 性变换A 如下 则有A 在标准正交基 下的矩阵是A 引理 2 设A是实对称矩阵 A的定义如上 则对任
7、意 有 或 定义 12 欧氏空间中满足等式 的线性变换称为对称变换 引理 3 设A 是对称变换 是A 子空间 则 也是 A 子空间 特征值的特征向量必正交 引理 4 设A是实对称矩阵 则 中属于A 的不同 定理 7 对于任意一个n级实对称矩阵A 都存在一个n级 正交矩阵T 使 成对角形 给定一个实对称矩阵A 如何求定理7 中的正交矩阵T 1 求出A的特征值 设 使A的全部不同的 特征值 2 对于每个 解齐次线性方程组 求出一个基础解系 这就是A的特征子空间 的一组基 由这组基出发 求出 的一组标准正交基 3 因为 两两不同 所以向量组 标准正交基 以它们为列构成的矩阵为T 两两正交 个数为n 即为 的一组 例 已知 求一正交矩阵T 使 成对角形 正交的线性替换 定理7可以用二次型的语言叙述为 定理 8 任意一个实二次型 都可以经过一个正交的线性替换变成平方和 其中平方项的系数 就是矩阵A的特征多项 式全部的根
