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1、数字信号处处理 电器信息工程学院电器信息工程学院 蔡超峰蔡超峰 数字滤滤波器的实质实质 是用有限精度算法实现实现 的离散时间时间 LSI 系 统统 以完成对对信号进进行滤滤波处处理的功能 其输输入是一组组由模 拟拟信号经过经过 抽样样和量化的数字信号 输输出是经过处经过处 理的另一 组组数字信号 数字滤滤波器既可以是一台由数字硬件装配成的用 于完成滤滤波计计算功能的专专用机 也可以是由通用计计算机完成的 一组组运算程序 本章主要介绍绍数字滤滤波器的分类类及结结构 引 言 第九章 数字滤滤波器的分类类及结结构 1 数字滤滤波器的分类类 2 数字滤滤波器结结构的表示方法 3 IIR 滤滤波器的结结
2、构 4 FIR 滤滤波器的结结构 5 离散时间时间 系统统 的 Lattice 结结构 根据单单位冲激响应应 h n 的时间时间 特性分类类 n无限冲激响应应数字滤滤波器 IIR n有限冲激响应应数字滤滤波器 FIR 根据实现实现 方法和形式分类类 n递归递归 型数字滤滤波器 n非递归递归 型数字滤滤波器 根据频频率特性分类类 n低通数字滤滤波器 n高通数字滤滤波器 n带带通数字滤滤波器 n带带阻数字滤滤波器 1 滤滤波器的分类类 数字滤滤波器可以用一个差分方程来描述 由上式可以看出 实现实现 一个数字滤滤波器需要几种基本的运算单单 元 加法器 单单位延迟迟和常数乘法器 这这些基本的单单元可以
3、有 两种表示方法 方框图图法和信号流图图法 因此一个数字滤滤波器 也可也有两种表示方法 方框图图法和信号流图图法 2 数字滤滤波器结结构的表示方法 z 1 单单位延迟迟 乘常数 相 加 z 1 a a 考虑虑如下二阶阶数字滤滤波器的信号流图图 x n 处处称为输为输 入节节点或源节节点 y n 处处称为输为输 出节节点或阱节节 点 其余节节点称为为网络节络节 点 节节点之间间用有向支路连连接 每 个节节点可以有几条输输入支路和几条输输出支路 节节点值值等于它所 有输输入支路的信号之和 而输输入支路的信号值值等于这这一支路起 点处处的节节点信号值值乘以之路上的传输传输 系数 延迟迟算子 z 1
4、表示 单单位延迟迟 2 数字滤滤波器结结构的表示方法 21 z 1 4 z 1 a2 a1 5 3 x n y n b0 源节节点没有输输入支路 阱节节点没有输输出支路 如果某节节点有一 个输输入 一个或多个输输出 该节该节 点称为为分支节节点 如果某节节 点有两个或两个以上的输输入 该节该节 点称为为相加器 各节节点值为值为 对对分支节节点 2有 故 2 数字滤滤波器结结构的表示方法 21 z 1 4 z 1 a2 a1 5 3 x n y n b0 IIR 滤滤波器的特点 n单单位冲激响应应 h n 是无限长长的 n系统统函数在有限 Z 平面上 0 z 有极点存在 n结结构上存在着输输出到
5、输输入的反馈馈 3 IIR 滤滤波器的结结构 数字滤滤波器可用差分方程来描述 也可以用系统统函数来表示 3 IIR 滤滤波器的结结构 表示为为两个系统级联统级联 的形式 称为为直接 型结结构 3 IIR 滤滤波器的结结构 H1 z H2 z x n y n y n z 1 aN 1 b1 x n y n b0 z 1 z 1 b2 bM 1 bM z 1 z 1 z 1 a2 a1 aN y n 直接 型的变变型 3 IIR 滤滤波器的结结构 H2 z H1 z x n y n y n z 1 aN 1 b1 x n y n b0 z 1 z 1 b2 bM 1 bM z 1 z 1 z 1
6、a2 a1 aN y n 直接 型结结构 典范型 3 IIR 滤滤波器的结结构 H2 z H1 z x n y n y n aN 1 b1 x n y n b0 b2 bM 1 bM z 1 z 1 z 1 a2 a1 aN y n 习题习题 已知数字滤滤波器的系统统函数 画出该滤该滤 波器的直接型结结构 解答 如右图图所示 直接型结结构的特点 n所需要的延迟单迟单 元最少 n系统调统调 整不方便 n受有限字长长影响较较大 3 IIR 滤滤波器的结结构 4 x n z 1 z 1 y n z 1 8 11 2 5 4 3 4 1 8 对对系统统函数 H z 进进行因式分解 式中 M M1 2M
7、2 N N1 2N2 级联级联 型结结构图图 3 IIR 滤滤波器的结结构 xk n z 1 z 1 yk n 1k 2k 2k 1k 习题习题 已知数字滤滤波器的系统统函数 画出该滤该滤 波器的级联级联 型结结构 解答 级联级联 型结结构的特点 n所用存储单储单 元较较少 n系数调调整方便 便于准确实现实现 系统统的零极点 n受有限字长长影响较较大 3 IIR 滤滤波器的结结构 z 1 z 1 y n 1 4 0 8 1 2 x n z 1 z 1 0 8 0 9 0 5 3 对对系统统函数 H z 进进行因式分解 上式中 N N1 2N2 当 M N 时时 公式中不包含最后一项项 当 M
8、N 时时 最后一项变项变 成 G0 一般 IIR 系统统皆满满足 M0 处处收敛敛 极点全部在 z 0处处 n结结构上不存在输输出到输输入的反馈馈 4 FIR 滤滤波器的结结构 数字滤滤波器可用一个差分方程来描述 对对于 FIR 滤滤波器则则有 直接型结结构 4 FIR 滤滤波器的结结构 z 1z 1z 1 x n b 0 y n b 1 b 2 b M b M 1 把 FIR 滤滤波器的系统统函数用二阶阶因子乘积积表示 级联级联 型结结构 x n z 1 01 y n z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 11 21 02 12 22 0 N 2 1 N 2 2 N 2 4 FIR 滤滤波
9、器的结结构 前已证证明 当 FIR 系统统的单单位冲激响应满应满 足 时时 该该系统统具有线线性相位 类类型 滤滤波器 且 N 为为奇数 4 FIR 滤滤波器的结结构 令 m N 1 n 类类型 滤滤波器的结结构 x n y n z 1z 1z 1z 1 z 1z 1z 1z 1 h 0 h 1 h 2 h N 1 2 h N 3 2 z 1 z 1 4 FIR 滤滤波器的结结构 类类型 滤滤波器 且 N 为为偶数 x n y n z 1z 1z 1z 1 z 1z 1z 1z 1 h 0 h 1 h 2 h N 2 2 z 1 z 1 z 1 h N 2 1 4 FIR 滤滤波器的结结构 类
10、类型 滤滤波器 且 N 为为奇数 x n y n z 1z 1z 1z 1 z 1z 1z 1 z 1 h 0 h 1 h 2 h N 3 2 z 1 z 1 4 FIR 滤滤波器的结结构 类类型 滤滤波器 且 N 为为偶数 x n y n z 1z 1z 1z 1 z 1z 1z 1z 1 h 0 h 1 h 2 h N 2 2 z 1 z 1 z 1 h N 2 1 4 FIR 滤滤波器的结结构 给给定一个 FIR 系统统的单单位冲激响应为应为 h n n 0 1 N 1 其系统统 函数和h n 的DFT 分别为别为 显显然 H k 实际实际 上是 H z 在单单位圆圆上的 N 个值值 即
11、 H k 是 H j 在频频域的抽样样 因此 我们们可以用 H k 来表示 H z 即 4 FIR 滤滤波器的结结构 H z 可看做是两个子系统级联统级联 一个是 FIR 子系统统 H1 z 一个 是 IIR 子系统统 H2 z FIR 子系统统由 N 个延时单时单 元组组成 系统统函数为为H1 z 该该系统统 在单单位圆圆上有 N 个等分的零点 频频率响应应 4 FIR 滤滤波器的结结构 2 N 0 梳状滤滤波器 IIR 子系统统由 N 个一阶阶系统统并联组联组 成 系统统函数为为 该该系统统有 N 个极点 IIR 系统统与 FIR 系统级联统级联 后 N 个IIR系统统在单单位圆圆上的极点
12、正 好和 FIR 系统统在单单位圆圆上的零点相互抵消 所以整个系统统是 FIR 系统统 称为为 FIR 系统统的频频率抽样样型结结构 4 FIR 滤滤波器的结结构 4 FIR 滤滤波器的结结构 x n z 1 y n H 0 H 1 H k 1 z 1 z 1 z N 1 N 频频率抽样样型结结构的优优点 n系统统在频频率采样样点 2 k N 上的响应应等于 H k 因此改变变 H k 就等于改变变了系统统的频频率响应应 n只要 h n 的长长度 N 相同 不论频论频 率响应应如何 梳状滤滤波器 以及个 N 一阶阶网络络的结结构相同 便于标标准化和模块块化 缺点 n稳稳定性差 有限字长长效应导
13、应导 致零极点不能完全相消 从而造 成系统统不稳稳定 n结结构中系数为为复数 因此运算量大 利用 H k 的对对称性可 以一定程度上降低计计算量 4 FIR 滤滤波器的结结构 快速卷积结积结 构 N Nh Nx 1 N 2m 4 FIR 滤滤波器的结结构 h n Nh 点序列 X 补零 N点 DFT运算 补零 N点 DFT运算 N点 IDFT运算 x n Nx 点序列 X k H k y n 一个 M 阶阶的 FIR 系统统的系统统函数可以写作 上式中假定 H z B z 的首项项系数等于1 表示 M 阶阶 FIR 系统统 的第 i 个系数 该该系统统的 Lattice 结结构如下图图 5 离
14、散时间时间 系统统的 Lattice 结结构 x n y n z 1z 1z 1 p0 n q0 n p1 n q1 n p2 n q2 n pM 1 n qM 1 n pM n qM n k1 k1 k2 k2 z 1 kM kM Lattice 结结构 格型结结构 的特点 n Lattice 结结构有 M 个参数 共需 2M 次乘法 M 次延迟迟 直接 型结结构有 M 个参数 共需 M 1 次乘法 M 次延迟迟 5 离散时间时间 系统统 的 Lattice 结结 构 x n y n z 1z 1z 1 p0 n q0 n p1 n q1 n p2 n q2 n pM 1 n qM 1 n
15、pM n qM n k1 k1 k2 k2 z 1 kM kM Lattice 结结构 直接型结结构 z 1z 1z 1 x n y n b 1 b 2 b M b M 1 n 信号的传递传递 是从左至右 中间间没有反馈馈回路 所以这这是一个 FIR 系统统 5 离散时间时间 系统统 的 Lattice 结结 构 x n y n z 1z 1z 1 p0 n q0 n p1 n q1 n p2 n q2 n pM 1 n qM 1 n pM n qM n k1 k1 k2 k2 z 1 kM kM n信号流图图中的基本单单元具有如下关系 其中 5 离散时间时间 系统统 的 Lattice 结结
16、 构 1 与 FFT 算法中的蝶形单单元做比较较 z 1 pm 1 n qm 1 n pm n qm n km km n 定义义 为输为输 入端 x n 至第 m 个基本单单元后所对应对应 系统统的系统统函数 对应对应 上端 对应对应 下端 5 离散时间时间 系统统 的 Lattice 结结 构 x n z 1z 1z 1 p0 n q0 n p1 n q1 n p2 n q2 n pm 1 n qm 1 n pm n qm n k1 k1 k2 k2 z 1 kM kM 如何由给给定的系数 b 1 b 2 b M 求出 Lattice 结结构的参数 k1 k2 kM 呢 两端分别别除以 P0 z 和 Q0 z 得 5 离散时间时间 系统统 的 Lattice 结结 构 z 1 pm 1 n qm 1 n pm n qm n kM kM 由前面的定义义可知 则则有 归纳归纳 得出 5 离散时间时间 系统统 的 Lattice 结结 构 将 的定义义 带带入上式 类类似的有 5 离散时间时间 系统统 的 Lattice 结结 构 可按照如下步骤骤求出参数 k1 k2 kM 步骤骤 1 由
