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1、7 Filter Design Techniques 7 0 Introduction 7 1 Design of Discrete Time IIR Filters from Continuous Time Filters 7 2 Design of FIR Filters by Windowing 7 6 Comments on IIR and FIR Discrete Time Filters 7 7 Summary 7 0 Introduction Filters are a particularly important class of linear time invariant s
2、ystems The design of filters involves the following stages 1 the specification of the desired properties of the system 2 the approximation of the specifications using a causal discrete time system and 3 the realization of the system 4 滤波器的设计步骤 按照实际任务要求 确定滤波器的性能指标 用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼 近这一性能要求 根据不
3、同要求可以用IIR系统函数 也可以用 FIR系统函数去逼近 利用有限精度算法来实现这个系统函数 这里包括选择 运算结构 如第4章中的各种基本结构 选择合适的字长 包 括系数量化及输入变量 中间变量和输出变量的量化 以及有 效数字的处理方法 舍入 截尾 等 As shown in Section 4 4 if a linear time invariant discrete time system is used as in Figure 7 1 and if the input is bandlimited and the sampling frequency is high enough t
4、o avoid aliasing then the overall system behaves as a linear time invariant continuous time system with frequency response In such cases it is straightforward to convert from specifications on the effective continuous time filter to specifications on the discrete time filter through the relation Tha
5、t is is specified over one period by the equation This type of conversion is illustrated in Example 7 1 Figure7 1 Basic system for discrete time filtering of continuous time signals 1 选频滤波器的分类 数字滤波器是数字信号处理的重要基础 在对信 号的过滤 检测与参数的估计等处理中 数字滤波器是 使用最广泛的线性系统 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变 系统 它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出 的数字
6、序列 因此 数字滤波器本质上是一台完成特 定运算的数字计算机 由第1章1 3节已经知道 一个输入序列x n 通过一个单位 脉冲响应为h n 的线性时不变系统后 其输出响应y n 为 将上式两边经过傅里叶变换 可得 式中 Y ej X ej 分别为输出序列和输入序列的频谱函数 H ej 是系统的频率响应函数 可以看出 输入序列的频谱X ej 经过滤波后 变为 X ej H ej 如果 H ej 的值在某些频率上是比较小的 则输入 信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉 因此 只要按 照输入信号频谱的特点和处理信号的目的 适当选择H ej 使 得滤波后的X ej H ej 符合人们的要求 这就
7、是数字滤波器的滤 波原理 和模拟滤波器一样 线性数字滤波器按照频率响应的通 带特性可划分为低通 高通 带通和带阻几种形式 它们的理想 模式如图5 1所示 系统的频率响应H ej 是以2 为周期的 图 5 1 数字滤波器的理想幅频特性 满足奈奎斯特采样定理时 信号的频率特性只能限带于 的范围 由图5 1可知 理想低通滤波器选择出输入信号中 的低频分量 而把输入信号频率在 cN时 H z 可 看成是一个N阶IIR子系统与一个 M N 阶的FIR子系统的级联 以下讨论都假定M N IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak bk或零极点 ck dk和A 以使滤波器满足给定的性能要求 利用模拟滤波
8、器 的理论来设计数字滤波器 首先 设计一个合适的模拟滤波器 然后 变换成满足预 定指标的数字滤波器 这种方法很方便 因为模拟滤波器已经 具有很多简单而又现成的设计公式 并且设计参数已经表格化 了 设计起来既方便又准确 利用模拟滤波器来设计数字滤波器 就是从已知的模拟滤波 器传递函数Ha s 设计数字滤波器的系统函数H z 因此 它归根 结底是一个由S平面映射到Z平面的变换 这个变换通常是复变 函数的映射变换 这个映射变换必须满足以下两条基本要求 1 H z 的频率响应要能模仿Ha z 的频率响应 也即S平 面虚轴j 必须映射到Z平面的单位圆ej 上 2 因果稳定的Ha s 应能映射成因果稳定的
9、H z 也即S平面 的左半平面Re s 0必须映射到Z平面单位圆的内部 z 1 下面首先分别讨论由模拟滤波器设计IIR数字滤波器的两 种常用的变换方法 脉冲响应不变法和双线性变换法 然后介 绍一下常用模拟低通滤波器的特性 FIR数字滤波器的设计方法 与 IIR数字滤波器设计方法明显不同 这将在下一章中介绍 5 4 Design of Continuous Time Filters 常用的模拟原型滤波器有巴特沃思 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Ellipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器等 这些滤波器都有严格的设计公式 现成的曲 线和图表供设
10、计人员使用 这些典型的滤波器各有特点 巴特沃 思滤波器具有单调下降的幅频特性 切比雪夫滤波器的幅频特性 在通带或者在阻带有波动 可以提高选择性 贝塞尔滤波器通带 内有较好的线性相位特性 椭圆滤波器的选择性相对前三种是最 好的 但在通带和阻带内均为等波纹幅频特性 这样根据具体要求 可以选用不同类型的滤波器 图 5 3 各种理想模拟滤波器的幅频特性 5 5 The Transform from Continuous Time Low Pass Filter to Discrete Time Filter 首先 把数字滤波器的性能要求转换为与之相应的作为 样 本 的模拟滤波器的性能要求 根据此性能要
11、求设计模拟滤波器 这可以用查表的办法 也可以用解析的方法 然后 通过脉 冲响应不变法或双线性变换法 将此 样本 模拟低通滤波器数字 化为所需的数字滤波器H z 我们讨论采用双线性变换法和脉冲 响应不变法来设计低通滤波器的过程 例 5 6 用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃思数字低通 滤波器 采样频率为fs 4 kHz 即采样周期为T 250 s 其3 dB截止频率为fc 1 kHz 解 查表可得归一化三阶模拟巴特沃思低通滤波器的传递函 数 然后 以s c代替其归一化频率 则可得三阶模拟巴特沃思低通 滤波器的传递函数为 式中 c 2 fc 上式也可由巴特沃思滤波器的幅度平方函数求 得 为了进行脉
12、冲响应不变法变换 将上式进行因式分解并表示 成如下的部分分式形式 将此部分分式系数代入 5 40 式就得到 式中 c cT 2 fcT 0 5 是数字滤波器数字频域的截止频率 将上式两项共轭复根合并 得 从这个结果我们看到 H z 只与数字频域参数 c有关 也即只 与临界频率fc与采样频率fs的相对值有关 而与它们的绝对大小无 关 例如fs 4kHz fc 1 kHz与fs 40 kHz fc 10kHz的数字滤波器将 具有同一个系统函数 这个结论适合于所有的数字滤波器设计 将 c cT 2 fcT 0 5 代入上式 得 这个形式正好适合用一个一阶节及一个二阶节并联起来实现 脉冲响应不变法由于
13、需要通过部分分式来实现变换 因而对 采用并联型的运算结构来说是比较方便的 图5 18给出了脉冲响应不变法得到的三阶巴特沃思数字低通 滤波器的频响幅度特性 同时给出例5 5双线性变换法设计的结 果 由图可看出 脉冲响应不变法存在微小的混淆现象 因而选 择性将受到一定损失 并且没有传输零点 图 5 18 三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响 下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波 器的步骤 1 确定数字低通滤波器的技术指标 通带截止频 率 c 通带衰减 c 阻带截止频率 s 阻带衰减 s 2 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通 滤波器的技术指标 如果采用双线性变换法 边界频率的转换关系
14、为 3 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤 波器 4 将模拟滤波器Ha s 从s平面转换到z平面 得到数 字低通滤波器系统函数H z 一 脉冲相应不变法设计数字巴特沃思低通滤波器 例 5 7 设计一个巴特沃思低通数字滤波器 给定抽样频率 fs 10KHz 要求频率小于 1KHz的通带内 幅度特性下降小于1dB 在频率大于 1 5KHz的阻带内 衰减大于15dB 解 1 求对应的各数字域频率 数字低通的技术指标为 c 0 2 rad c 1dB s 0 3 rad s 15dB 模拟低通的技术指标为 设计巴特沃斯低通滤波器 先计算阶数N及3dB截止频 率 c 4 用查表法 根据阶数N 6
15、 查表5 2 1 得到归一化传输函 数为 为去归一化 将s s c代入Ha s 中 得到实际的 传输函数Ha s 5 用脉冲响应不变法将Ha s 转换成H z 首先将Ha s 进 行部分分式 并按照 5 36 式 可得到 图5 4 7 例5 4 2图 用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性 Example 7 1 Determining Specifications for a Discrete Time Filter We want the overall system of that figure to have the following properties when the
16、sampling rate is samples s 1 The gain should be within 0 01 of unity in the frequency band 2 the gain should be no greater than 0 001 in the frequency band Such a set of lowpass specifications on can be depicted as in Figure7 2 a where the limits of tolerable approximation error are indicated by the shaded horizontal lines For this specific example the parameters would be Since the sampling rate is samples s the gain of the overall system is identically zero above due to the ideal discrete to co
