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1、数学必修4课标解读一、教育价值三角函数是最基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角的一种工具，有着极其丰富的实际背景。三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。这部分内容的教育价值主要体现在以下几方面。1.有助于学生体会数学与实际生活的联系，以及数学在解决实际问题中的作用三角函数与向量是刻画现实世界的重要数学模型。学生在实际生活中遇到大量的周期变化现象，如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等，这些都是三角函数的实际背景，又可以用三角函数加以
2、刻画和描述。力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述。标准突出三角与向量的实际背景与应用，因此，通过本模块的学习，有助于学生认识三角函数、向量与实际生活的紧密联系，以及三角函数、向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识。2.有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程向量既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通代数与几何的桥梁。标准将向量与三角函数设计在一个模块中，主要是为了通过向量沟通代数、几何与三角函数的联系，体现向量
3、在处理三角函数问题中的工具作用。标准要求学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，并由此公式作为出发点，推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式等。二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式等。这个过程有助于学生体会向量与三角函数的联系、数与形的联系以及三角恒等变换公式之间的内在联系。3.有助于发展学生的运算能力和推理能力向量作为代数对象，可以像数一样进行运算。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。数运算、字母运算、向量运算、函数运算、映射、变换、矩阵运算等是数学中的基本运算。从数运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充多元，对于
4、进一步理解其他数学运算具有基础作用。标准要求学生掌握向量的加、减、数乘、数量积的运算，推导三角恒等变换公式。三角恒等变换公式的推导既是一种三角函数运算，也体现了公理化方法和推理论证在数学研究中的作用。因此，本模块内容的学习有助于学生体会数学运算的意义，以及运算、推理在探索、发现数学结论，建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力。二、课程内容加强的方面及依据1.加强几何直观标准强调几何直观，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用。例如，对于三角函数，标准要求在三角函数及其性质的学习中，发挥单位圆的直观作用，借助单位园直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同
5、角三角函数关系以及三角函数的图像，借助三角函数的图像理解三角函数在一个周期上的单调性、最大值和最小值、图像与轴的交点等性质；对于平面向量，标准强调向量概念的几何背景，强调理解向量运算（加、减、数乘、数量积）及其性质的几何性质。2.强调数学建模标准将三角函数与向量作为刻画现实世界的数学模型。学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程，即“问题情景建立模型数学结果解释、应用与拓展”。标准对三角函数与向量内容的处理，首先提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象，建立三角函数与向量模型（引出三角函数与向量的概念），在运用数学方法研究三角函数与向量模型的性质，最后运用三角函数与向
6、量模型及其性质去解决包括现实原型在内的更加广泛的一类实际问题。这样处理体现了数学知识的产生、发展过程，反映了数学的“来龙去脉”，有助于学生理解数学的本质，形成对数学的整体认识。3.强调信息技术的运用标准要求鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如，借助计算器、计算机求三角函数值，求解测量问题，画三角函数的图像，分析参数变化对函数的影响等。信息技术的运用，一方面，可以把学生从繁琐的技巧运算中解脱出来，为学生借助信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索和创造性的数学活动提供时间和空间；另一方面，可以解决一些实际问题。4.强调数学知识之间的内在联系以及数学与其他学科的联系向量是近代数学中重要和
7、基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的一种工具，体现了数形结合的思想。本模块用向量的数量积来推导两角差的余弦公式，刻画平面内两条直线平行与垂直的位置关系，体现了向量方法在研究和解决数学问题中的作用，也沟通了代数、几何与三角函数的联系。三角函数与向量在物理中有着广泛的应用，物理背景也是三角函数与向量模型的重要原型。标准强调突出三角函数与向量的物理背景和三角函数与向量在物理中的应用，体现了数学与物理等学科的密切联系。三、课程内容消弱的方面及依据1.三角函数与三角恒等变换与2002年颁布的全日制普通高级中学数学教学大纲相比，标准在三角函数部分删减了以下内容：任意角的余切、正割、余割，周期函数与最小正
8、周期，三角函数的奇偶性，已知三角函数值求角以及符号，解三角形（解三角形放在数学必修5中）等内容。标准对一些内容降低了要求，如任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式分别由原来的理解、掌握减为了解、理解；两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式由原来掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出等。对三角恒等变换，标准要求以推导积化和差、和差化积、半角公式作为恒等变换的基本训练，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。这样处理的目的是为了突出三角函数的主干内容，特别是突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。2.平面向量与2002年颁布的全日制普通高级中学数学教
9、学大纲相比，标准在平面向量部分删减了平面两点距离公式、线段定比分点以及中点坐标公式、平移公式等内容。四、教与学的目标：通过本模块的教与学，第一，应使学生理解三角函数的定义以及图象和性质；通过三角函数在简单实际问题中的应用，使学生体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，感受它在解决具有周期变化规律的问题中的重要作用。第二，应使学生了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的概念及其运算；通过实际问题的分析和求解，一方面应使学生体会平面向量是沟通代数与几何的一种重要工具，另一方面，应逐步提高学生的运算能力和解决实际问题的能力。第三，应使学生学会运用向量这一工具推导基本的三角恒等变换公式，进而由
10、此推导出其他三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的三角恒等变换，据此培养和发展学生的推理能力和运算能力；通过运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，使学生进一步体会向量的重要价值。五、课程内容的定位与变化（一）三角函数1.知识内容的整体定位三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本模块中，学生通过实例，学习三角函数及其基本性质，三角函数是由正弦函数、余弦函数、正切函数等构成的函数类，有一个从特殊到一般的过程。在学习三角函数的过程中，需要帮助学生体会在解决具有周期变化规律的问题中的作用。2.课程标准的要求（1）任意角、弧度 了解任
11、意角的概念。 了解弧度制，能正确进行弧度与角度的换算。（2）三角函数 借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 理解三角函数的几何表示三角函数线。 借助单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式。 理解同角三角函数的基本关系式： ，。（3）三角函数的图象与性质 能画出，的图象，了解三角函数的周期性。 借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性。（4）函数的图象 结合具体实例，了解的实际意义。 借助计算机或计算器画出函数的图象，观察参数，对函数图象变化的影响。（5）会用三角函数解决一些简单的实际
12、问题，体会三角函数是描绘周期现象的重要数学模型。3.课程标准要求的具体化与深广度分析（1）任意角、弧度标准表述标准要求的具体化与深广度分析大纲表述了解任意角的概念。了解弧度制，能正确进行弧度与角度的换算。了解任意角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。理解象限角和中边相同的角的概念及其表示。例如：第一、二、三、四象限角的集合；终边在轴上的角的集合；所有与角终边相同的角的集合。理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算与后续学习的逻辑关系：任意角、弧度制是后续课程“任意角的三角函数”、“三角函数的图像与性质”的基础。高中课程不要求的的：对于判断一个角
13、是第几象限，只要求是具体的角，而不要求抽象的角。例如：“已知角是第三象限角，则分别是第几象限角？”标准里不作要求。（2）三角函数标准表述标准要求的具体化与深广度分析大纲表述借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义。设是任意角，它的终边与单位圆交与点那么：（1）叫做的正弦，记作即掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。了解任意角的余切、正割、余割的定义借助单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式利用单位圆中的三角函数线和三角函数定义推导出等诱导公式。掌握正弦、余弦的诱导公式。 能画
14、出，的图象，了解三角函数的周期性。借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性通过学习，要求学生掌握正弦、余弦函数的图像，了解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图像的方法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图；理解正弦、余弦函数的性质：周期性，定义域和值域，正弦、余弦函数值的有界性、单调性及其应用；能画出正切函数的图像以及利用图像了解正切函数的性质会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图像理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质
15、理解同角三角函数的基本关系式： ，oIt例如，已知，且是第二象限角，求的值。掌握同角三角函数的基本关系式：， 结合具体实例，了解的实际意义。 借助计算机或计算器画出函数的图象，观察参数，对函数图象变化的影响。会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解，的物理意义了解的实际意义，如图中的图像可以表示电流在一个周期内的图像。（1）是根据图像写出的解析式；（2）在任意一段秒的时间内，电流既能取得最大值，又能取得最小值吗？会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描绘周期现象的重要数学模型一些实际例子提高运用所学知识解决实际问题的能力。培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力与后续学习的逻辑关系： “三角函数的图像与性质”是后续课程“三角恒等变换”、“解三角形”的基础。高中课程不要求的的：余切函数、正割函数、余割函数的定义、图像和性质不作要求。4.重、难点分析（1）重点1）周期性周期性是三角函数最主要性质。通过三角函数的学习可以加深对周期性的理解。2）正弦函数余弦函数、正切函数都可以转化为正弦函数，因此三角函数的重点是正弦函数。通过对正弦函数性质的透彻理
