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1、单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版副标题样式 1 v南京 大学 高数教研室 微积分 教学课件 第五章 导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 内容导航 前 言 理论基础 中值定理 一阶导数的应用 二阶导数的应用 数学建模 最优化模型 第五章 导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 前 言 本
2、章我们进一步用导数来研究函数的特性 并由此解决一些实际问题 导数可应用于求各种变化率 如求变速直 线运动的速度 加速度 切线的斜率 经济 的边际等问题 用数学解决实际问题 可统称为数学建模 最后介绍微分的概念及应用 5 1 理论基础 中值定理 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 拉格朗日中值值定理 设函数由于y f x 在闭区 间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 则 必定在 a b 内至少存在一点x0使得 如图所示 x y 0bax0 y f
3、x 5 1 理论基础 中值定理 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例1 试证当x 0时 有 令f t ln 1 t 则f t 在 0 x 上满足拉格 朗日中值定理 则 其中 即 因为 所以 证 5 1 理论基础 中值定理 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例2 试证当有 则y f x 在 a b 是增函数 任
4、由于 说明可用中值定理有 其中 由已知 故 证得f x 在 a b 递增 证在 a b 存在 应用此中值定理注意 构造 什么函数在什么区间上运用 拉格朗日中值定理是导数与函数联系的桥梁 5 2 一阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 函数单调性的判定 设设函数y f x 在 a b 连续连续 a b 可导导 那么 例3 判别函数 的单调性 解 5 2 一阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v
5、第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例4 求函数 的单调区间 令 得 解函数的定义域为 数轴上讨论 如图 x 13 y y 在 区间取 代入 得 在 区间取x 0 代入得 区间取代入得 在 得 函数在 和 上递增 在上递减 5 2 一阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 重要说说明 解题步骤 1 求导 2 令 求驻点xi 和奇点xi y不可导的点 见下例 首先求出函数的定义域
6、因为要把函数的定义域讨论 完 技巧是只须取一好计算的点x0 这有 投石问路 的方法技 巧 确定函数单调区间的依据为 的点 数轴上以xi 驻点 奇点可统称为分界点 分区间讨论 正负号 得结论 以及定义域外不讨论单调性 关于讨论一个区间上 符号 5 2 一阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例5 确定 函数的定义域为 的单调区间 解 由于则无驻点 则x 0为奇点当x 0时不存在 也可以是单调区间分界点 讨论 得函数在 递减 递增 5 2 一阶导
7、数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 函数的极大值和极小值 定义义 设函数y f x 在 a b 有意义 若x0附近的函数值都大于 或都小于 f x0 则称f x0 为函数f x 的一个极大极大值值值值 或极小值 点x0叫函数f x 的极大值值点 或极小值点 函数的极大值和极小值统称为极值值 极大值点 和极小值点统称为极值值点 注意 极值是局部概念 局部最大或最小 一个 函数在一个区间内只可能有一个最大值 一个最小 值 但可能有多个极大值和极小值
8、 5 2 一阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 如何求函数的极值 如下图所示 可见 极值与函数的单调性密切联系 极值就是函数单 调区间的分界点 因而可以通过求单调区间来求极值 x y 0 y f x x1x2x3x4 5 2 一阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例6 求函数的极值 f
9、x 的定义域为 令 解 得驻点 讨论如图 x 1 极大 2 极小 y y 得 当x 1时 函数有极大值f 1 2 当x 2时 函数有极小值f 2 1 5 2 一阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 说说明 求函数极值值的方法与步骤骤 令 分区间讨论 将极值点代入f x 算出极值 求 求一阶驻点和奇点xi 的正负号 确定单调区间 进而确定极值点 5 2 一阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v
10、第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例7 求函数的极值 函数的定义域为解 令得 讨论如图 得 函数的极小值为 驻点不是极值点 x 1 y y 5 2 一阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例8 求函数的极值 函数的定义域为 解 奇点 驻点 讨论如图 得 函数的极大值为 极小值为 x 0 y y 5 3 二阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v
11、第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 曲线凹凸区间的判定 如图 直观看曲线 往上弯 为凹 每点切线在曲线下方 曲线 往下弯 为凸 每点切线在曲线上方 x y 0 x y 0abba y f x y f x a图b图 5 3 二阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 进进一步观观察曲线线凹凸性与切线线的关系 a图曲线是凹的 切线的倾斜角 为锐角 且由小变大 是递增的
12、 有f x 递增 则表明 有 递增 反之亦然 这就得到 有f x 凹 b 图同理有 f x 凸 回忆 曲线上凹凸的分界点叫做曲线的拐点 5 2 二阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例9 求的凹凸区间和拐点 解 函数的定义域 为 令 为二阶驻点 讨论如图 得 曲线在凸 在凹 拐点为 3 146 x3 104104 5252 146 146 464 464 6 6 3 3 2 2 x x y y 草图草图 5 3 二阶导数的应用 5 3 二阶
13、导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 求曲线线凹凸区间间 拐点与 单调单调 区间间 极值值的步骤骤与要点类类似 2 求二阶驻点和奇点xi 其分界点xi代回函数f x 并算出f xi 则有拐点 1 求 3 由xi分区间讨论 符号确定凹凸区间 5 3 二阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例10
14、 求曲线的凹凸区间和拐点 解 函数的定义域为 有二阶奇点x 0 讨论如图 得 曲线在凸 在 可见见 二阶导阶导 数不存在的点也可能是曲线线的拐点 凹 拐点为 0 0 x0 5 3 二阶导数的应用 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 曲线形态判别方法小结 曲线增减与极值 1 极值为增减区间分界点 2 步骤 1 求 2 求一阶驻点 奇点xi 3 以xi分区间讨论 曲线凹凸与拐点 1 拐点为凹凸区间分界 点 2 步骤 1 求 2 求二阶驻点 奇点xi 3 以x
15、i分区间讨论 符号确定增减区间与极值 符号确定凹凸区间与拐点 5 4 数学建模 最优化问题 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 求出某些量的最大值和最小值对于许多实际问 题都显得十分重要 例如求时间最短 利润最大 成本最低等等 相应 大学生数学建模竞赛题几乎都是优化问题 或说必须用优化思想 方法去分析解决 初等 数学中用二次函数 三角函数 不等式等等方法 可以求函数最值 这里我们将看到 高等数学用 导数如何提供一种更有效的方法来解决许多最优 化问题 5
16、4 数学建模 最优化问题 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例13 求在 3 3 上的最大值和最小值 从以上讨论可知 函数最值只可能在函数极值或区 间端点处 于是求函数最值的方法是先求f x 的极 值可能点xi 再求f xi 和f a f b 从中比较出最 大的为最大值 最小的为最小值 解 令 得驻点 计算得f 2 f 2 15 f 0 1 f 3 f 3 10 比较 得函数在 3 3 上的最大值为f 3 f 3 10 最小值为f 2 f 2 15 5 4 数学建模 最优化问题 精品课程 v序 言 v第1章 函 数 v第2章 导 数 v第3章 定积分 v第4章 求导方法 v第5章 导数应用 v第6章 求积分方法 v第7章 定积分应用 v第8章 微分方程 例14 生产易拉罐饮料 其容积V一定时 希望制易拉罐 的材料最省 假设易拉罐侧面和底面的厚度相同 而顶 部的厚度是底 侧面厚度的三倍 试求易拉罐的高和底 面的直径 市场上的易拉罐 其高和底面直径
