微积分第一部分

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1、第一章 函数 课时安排 8课时 教学目标和要求 通过本章的学习 使学生对函数的概念和基本性质形成比较全面的认识 能够根据实际问题建立合适的函数关系式 教学内容 了解内容 集合的有关概念 集合的表示法 集合之间的关系 笛卡尔乘 积 实数和数轴 绝对值及其性质 区间 函数的表示法 理解内容 邻域的概念 函数关系的实质 分段函数 隐函数 函数的几 种性质 反函数 复合函数 初等函数 函数图形的组合与变换 掌握内容 求函数定义域 根据实际问题建立函数表达式 教学重点 集合的表示法 集合的运算律在经济分析中的应用 邻域 函 数的概念 函数的表示法 分段函数 隐函数 根据实际问题建立函数关 系式 函数的性

2、质 复合函数 教学难点 集合的运算律 笛卡尔乘积 多值函数 反三解函数 函数图 形的组合和变换 使用的方法 讲解法 图示法 使用的教具 多媒体投影机及涉及的图片等 本章教学总结 第二节 函数概念 第七节 简单函数关系的建立 第一节 预备知识 第三节 函数的几何特征 第六节 初等函数 第四节 反函数 函数图形的简单组合与变换 第五节 复合函数 一 集合的有关概念 确定性 互异性 无序性 2 元素 构成集合的事物或对象 称为集合的元素 4 无限集 由无限个元素组成的集合 3 有限集 由有限个元素组成的集合 一般用大写拉丁字母A B C等表示集合 而用小写 字母a b c等表示元素 如果a是集合A的

3、元素 则记作 a A 读作a属于A或a在A中 如果a不是集合A的元素 则记作a A 读作a不属于A或a不在A中 第一节 预备知识 1 集合 是具有某种属性的事物的全体 或是一些确 定对象的汇总 它具有三个特征 5 全集 由所研究的所有事物构成的集合称为全集 记为U或I 全集是相对的 注意 0 和 都不是空集 前者以0为元素 后者以空集为元素 二 集合的表示法 6 空集 不含有任何元素的集合称为空集 记作 1 列举法 按任意顺序列出集合的所有元素 并用 花括号 括起来 2 描述法 设P a 为某个与a有关的条件或法则 A 为满足P a 的一切a构成的集合 3 文氏图法 集合与集合之间的关系可以用

4、图形表示 出来 文氏图是用一个简单的平面区域代表一个集合 区域内的点表示集合的元素的方法 特别是直观 形象 三 集合与集合的关系 集合与集合之间的关系 主要子 交 并 补 差等几种形式 可以用文氏图表示 1 子集 如果集合A的每一个元素都是集合B的元 素 即 如果a A 则a B 则称A为B的子集 记 作A B 或B A 此种表示法与教材有异 关于子集有三个结论 1 集合A是其自己的子集 2 空集是任意集合的 子集 3 集合的包含关系具有传递性 真子集 若集合A是集合B的子集 且集合B中至少有一 个元素不属于A 则称集合A为B的真子集 记作A B 或 B A 集合相等 两个集合互为子集 则两集

5、合相等 2 交集 设有集合A和B 由A和B的所有所公共元 素构成的集合 称为A与B的交集 记为A B 如果 A B 则称A B是分离的 不容的 思考问题 一个集合的子集有多少个 计算过程用到二项式定理 以及排列组合公式 5 差集 设有集合A和B 属于A而不属于B的所有 元素构成的集合 称为A与B的差集 3 并集 设有集合A和B 由A和B的所有元素构成 的集合 称为A与B的并集 记为A B 4 补集 全体U中所有不属于A的元素构成的集合 称为A的补集 记作A 或 四 集合的运算律 1 交换律 1 A B B A 2 A B B A 2 结合律 1 A B C A B C 2 A B C A B

6、C 3 分配律 1 A B C A C B C 2 A B C A C B C 4 摩根律 1 2 A B C A C B C 以上运算律可用集合的性质来证明 也可用文氏 图法来证明 教材给出了结合律 摩根律的证明过程 我们下面来看一看分配律中第一个公式的文氏图说 明 六 实数与数轴 P1 1 实数 有理数和无理数统称为实数 全体实数与数轴上的所有点是一一对应的 人们对数的认识的发展过程 自然数 减法 整 数 除法 有理数 开方 无理数 实数 有理数 和无理数 实的含义 负数开方 复数 实数和虚数 有理数处处稠密 但未充满数轴 不连续 有以下几点需要注意 2 数轴 规定了原点 正方向和单位长度

7、的直 线称为数轴 七 实数的绝对值及其基本性质 P1 P2 绝对值及其运算具有下列10条性质 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值 是它的相反数 0的绝对值是0 一个实数x的绝对绝 对值记作 x 规定为 八 区间与领域 P3 区间是指介于某两个实数之间的全体实数 这两个 实数叫做区间的端点 称为开区间 称为闭区间 称为半开区间 称为半开区间 无限区间 注 两端点间的距离 线段的长度 称为区间的长度 现将一些常见的区间及表示方法总结如下 区间不等式表示集合表示 数轴表示 开区间 a b a x b x a x b 闭区间 a b a x b x a x b 半开区间 a b a b a x

8、 b a x b x a x b x a x b 无穷区间有 a a b b 在数轴上 一个以点x0为中心 长度为2 的开 区间 x0 x0 称为点x0的 邻域 x0称为 邻域的中心 称为邻域的半径 如下图所示 以集合表示为 x x x0 0 注意 1 邻域一定是开区间 2 左领域和右领域 3 无穷远点的情形 若0 x x0 Y就不是函数关系 第二节 函数概念 常量 在过程中保持不变的 取一个固定数值的量 变量 在过程中会起变化的 可在一定的范围内取不同 数值的量 函数的两要素 函数的定义域和对应规则 两函数相等的条件 定义域相等 对应规则也相同 如 y 2x 3与y 2u 3其中x D U

9、D是相等的函数 还有以下两点需要注意 常量与变量是相对 过程 而言的 通常用字母a b c等表示常量 用字母x y t等表示变量 函数的实质是变量之间的对应关系 常见的是两个变 量之间的对应关系 三种方法 表格法 图示法 解析法 公式法 二 函数的表示方法 教材6页3个例题 三 函数定义域 教材7页2个例题 5 当函数表达式由几种形式的表达式构成时 其定义 域为它们的交集 1 当函数表达式为分式时 分母不等于0 2 当函数表达式为偶次根式时 被开方数 0 3 当函数表达式为对数形式时 底数 0且不等于1 真 数 0 4 当函数表达式为分段函数时 其定义域为各部分的 定义域的并集 若对于一个由解

10、析法表示的函数y f x 的定义域 没 有加以特殊的限制 则该函数的定义域就是使表达式有意 义的所有x构成的集合 这种定义域称为函数的自然定义域 四 单值函数和多值函数 理解多值函数的重点是要理解y是 相对确定 的 也就 是说y值不是唯一的 但也不是无限多个 如不特别指明 本课程中所提到的函数均指单值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值时 对应的函 数值总是只有一个 这种函数叫做单值函数 否则叫做 多值函数 例如 y 3x 1为显函数 由方程x2 y2 a2确定的 变量y是变量x的函数 为隐函数 六 显函数和隐函数p18 有些函数的因变量是用自变量表达式表示出 来的 称为显函数 例如y x2

11、 而有些函数 它的因变量与自变量的对应规则 是用一个方程 x y 0表示的 称隐函数 即当x的值给定后可以由此方程确定y的值 我 们就说这个方程确定一个函数y f x 由方程 F x y 0确定的函数y f x 称为隐函数 注意 y x2和y x2 0表示一个函数关系 五 分段函数 注意 分段函数是用几 个公式合起来表示一个函数 而不是表示几个函数 在自变量的不同变化范围中 有时一个函数不能 由一个式子表示 对应法则用不同的式子来表示的 函数称为分段函数 七 几个特殊的函数举例 1 符号函数 1 1 x y o 2 取整函数 y x 教材7页 x 表示不超过 的最大整数 3 取最值函数 y x

12、 o y x o 1 2 3 4 5 2 4 4 3 2 1 4 3 2 1 1 3 x y o 阶梯曲线 练习题1 解 1 y c表面上虽不含x 但这个式子作为规则 它表示 不论x取什么实数值 y总以唯一确定 的数值c与之对应 因此y c符合函数定义 是y 与x的函数关系 解 2 x a说明y不受限制 可为任意值 即x a 时 y可以用任意值与之对应 即有无穷多个y与 之对应 这不符合函数的定义 所以x a不是y与 x的函数关系 解 3 y ln x 的定义域要求x0 但事实 上 x2 1 1 即对任何实数x 都没有按照规则 y ln x2 1 与之对应的实数y 所以y ln x2 1 不是

13、y与x的函数关系 1 下列关系式中 是y与x的函数关系 1 y c c为常数 2 x a a为常数 3 y ln x 4 y ln x2 1 2 求下列函数的定义域 1 2 3 练习题2 该函数的定义域为 x 3且x 5 解 1 分析 因为该表达仅是分式形式 所以分母不 等于0 由 分析 因为 该表达式既含有分母又含有二次根式 所以应满足分母不等于0且被开方数 0 该函数的定义域为 该函数的定义域为 分析 因为该表达式含有分母和对数式 所以应满 足分母不等于0且真数 0 练习题 3 解 设 则 求 练习题 4 设 则 故 第三节 函数的几何特征 一 函数的单调性 x y o x y o 3 有

14、些函数在其定义域D内不是单调 函数 但在D内的一个区间内具有单调性 称这种区间为函数的单调区间 也就 是说函数的单调性是局部性质 注意 2 单调增加或单调减少的函数 统称为单调函数 1 若f x1 f x2 则称 函数在I内是严格单调递增 或严格单调递减 的 教材9页的2个例题 二 函数的有界性 M M y x o y f x X 有界 y 无界 M M x o X 1 并不是任何函数都有界 若函数有界 其界不 唯一 3 函数的有界性与所讨论问题的区间有关 2 函数有界不要与函数有上界或有下界混淆 例如y x2在 内无界 但它有下界0 例如y sinx 在 区间内是有界的 而 y x2在 内是

15、无界的 但在其它区间内可 能是有界的 注意 三 函数的奇偶性 偶函数 y xox x 奇函数 y xox x 注意 1 若既不满足f x f x 且不满足f x f x 则称y f x 为D上的非奇非偶函数 2 只有当函数y f x 的定义域关于原点对称 时 才有可能讨论它的奇偶性 3 判断函数奇偶性的方法是 两看 即一看定 义域 二看关系式 4 奇偶函数的图象特点 奇函数的图象关于原 点对称 偶函数的图象关于y轴对称 下面我们来分析教材11页的例3 四 函数的周期性 周期一般不唯一 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 判断下列函数的奇偶性 练习题 1 练习题2 判断函数 f x lnx x

16、 的单调性 增减性 解 因为f x 的定义域为x 0 所以任取0 x10 i 为整数 定义域为 当a为奇数时 y x 是单调增加的奇函数 值域为 当 a为偶数时 y x 是偶函数 当 x0 时 单增 值域为 0 ii 为分数 当 n为奇数时 是奇函数 定义域为 n为偶数时 的定义域为 0 0 a 1 称为指数函数 1 定义域为 值域为 0 2 当a 1时 函数单调增加 当0 a0且a 1 称为对数函数 注 1 定义域为 0 值域为 2 当a 1时 函数单调递增 当0 a 1时 函数 单调递减 3 图形特点 的图形都经过点 1 0 4 以e为底的对数 称为自然对数 简记 为y lnx 以10为底的对数函数称为常用对数 简记 为y lgx 5 对数运算的法则 6 对数的性质 负数和零没有对数 1的对数等于0 底数的对数等于1 7 对数恒等式 8 对数函数 与相应的指数函数y ax是互为 反函数 两个函数的图象关于直线y x对称 五 三角函数 函数y sinx称为正弦函数 定义域为 值域为 1 1 它是 以2 为周期的有界奇函数 函数y cosx称为余弦函数 定义域为 值域为 1 1 它是