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1、 高一上学期数学能力提升题备注：（1）黄色底纹部分不用做； （2）若基础较好，可从第6题（红色）开始.一、函数概念与基本初等函数1、分段函数也是函数的一种形式。例如：已知函数，则的值是_已知，则的值为_已知，则不等式的解集是_若定义运算，则函数的值域是_函数的值域呢？已知函数 ，若互不相等，且，则的取值范围是_ 2、对于函数，一定要注意系数！例如：若对一切恒成立，则的取值范围是_3、求解与函数、不等式有关的问题（如值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等），要注意优先考虑定义域。影响定义域的因素主要有分母；偶次根式被开方数；对数真数；对数底数且；负指数、零指数幂的底数；问题的实际意义。例如：函数
2、的定义域为_；函数的定义域是 4、还记得复合函数的求法吗？一般地，若定义域为，复合函数定义域由解出；若定义域为，则定义域相当于时的值域。例如：若函数的定义域为，则的定义域为_；若函数的定义域为，则函数的定义域为_5、还记得函数值域的常用求法吗？（单调性法；换元根式、三角等；数形结合；基本不等式；判别式法；导数法，等等），其中，单调性是我们的首选。例如：的值域是_ 函数的值域是_的值域是_ 的值域为_已知点在圆上，则的取值范围是_若函数在上的值域为，则6、函数为奇函数与之间到底是什么关系呢？例如：若函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的_条件已知是定义在上的奇函数，当时（为常数），则的值为_已知
3、函数为定义域上的奇函数，则实数若函数为偶函数，为奇函数，则_7、你会利用函数的奇偶性解题吗？例如：设是定义在上的奇函数，当时，则_函数，若，则的值为_已知，若偶函数，且的最小值为1，则_已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则_已知函数，若，则实数的取值范围是_已知函数的最大值为，最小值为，那么 _8、你会利用函数的单调性解题吗？利用函数的单调性，不仅可以比较大小，解不等式，还可以求函数的最值，研究方程的零点的个数。例如：定义在上的函数，如果，则实数的取值范围为_已知是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若， ，则大小关系是_已知函数，令，则的大小为_已知，设函数的最大值为，最小值为，那么_
4、9、函数周期性函数满足，则是周期为的周期函数。记住：函数满足，则的周期。例如：若，则=_设是上的奇函数，当时，则等于_设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其中若，则的值为 10、对称性轴对称，点对称，两个函数之间的对称，还记得吗？（1）一个函数图像自身的对称性性质1：的图像关于直线对称 性质2：的图像关于点对称. (2)两个函数图像之间的对称性1.函数与的图像关于直线对称；2.函数与的图像关于直线对称；3.函数与的图像关于原点对称；4.函数与的图像关于直线对称（无需死记，掌握推导）例如：若是上的奇函数，则函数的图象必过定点 已知定义在上的函数满足为奇函数，且，则在同一坐标系内，函数的图象关于
5、_对称在同一坐标系内，函数和的图象关于_对称11、函数图像包括图像变换、数形结合等，能熟练掌握了吗？例如：方程的实根个数是 已知函数是上的增函数，则的取值范围是_若函数对任意的都有，则实数的取值范围是_已知函数，数列满足，且是单调递增数列，则实数的取值范围是_已知实数,，当时，恒成立，实数的取值范围是，则函数的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为，则不等式的解集为 _ 函数的图象是以原点为圆心，1为半径的两段圆弧，则不等式的解集为_已知函数，且关于的方程有6个不同的实数解，若最小实数解为，则的值为_12、 指数、对数的运算法则要熟练掌握关注：，例如：若，则（用表示）；的值为_ 13、
6、涉及指对数型函数的单调性时，注意对底数的讨论！例如：若函数在区间上的最大值和最小值之差为，则实数的值为_；若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是_14、幂函数有哪些性质？例如：已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为_当时，幂函数的图象不可能经过第_象限 15、什么是函数的零点？如何解决根的分布问题？例如：若函数的零点在区间内，则整数_ 已知函数 的零点，其中常数满足，则的值是_函数零点的个数为 已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是_ *若关于的不等式的解集中仅有4个整数解，则实数的取值范围为 16、二次函数必须熟练掌握基本的配方，开口、对称轴、特殊点等，并注意在指定区间上的讨
7、论，含参问题，包括带绝对值问题等，注意数形结合的合理使用。例如：设二次函数，如果，则等于_已知函数是偶函数，定义域为，则_已知函数满足，则的取值范围是_已知函数满足，若存在，使得，则的取值范围是_已知函数，设的最大值为，则当取最小值时，17、抽象函数利用一些方法（如赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。还记得哪些？常见抽象函数的特征表达式：正比例函数型： -；幂函数型： -，；指数函数型： -，； 对数函数型： -，； 三角函数型： - 例如：若为偶函数且在上是减函数，又，则的解集为_设的定义域为，对任意，都有，且时，又，(1)求证为减函数； (2)解不等式. 定
8、义在上的单调函数满足且对任意都有(1) 求证为奇函数；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围18、对于一些多选题、新颖定义的题目，需要仔细阅读，利用掌握的函数性质求解。例如：在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过 个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数(1)；(2)；(3)； (4)，其中是一阶整点函数的是_定义在上的函数，若对任意，都有，则称为“函数”，给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4），其中是“函数”的个数为_已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”给出下列四个集合：（1）；（2）；（3）；（4），其中是“垂直对
9、点集”的序号是 设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”。现给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）是定义在实数集的奇函数，且对一切均有。其中是“倍约束函数”的是_ _若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：（1）；（2）；（3） ；（4），其中所有存在“稳定区间”的函数序号是_ _已知为点集，记性质为“对，均有”。给出下列集合：（1）；（2）；（3）；（4），其中所有具有性质的点集序号是_二、基本初等函数（三角函数），三角恒等变形1、是否熟悉了三角函数的定义？例如：已知角的终边过点，且，则的值为_设角的终边过点，则的值是_“且”
10、是“为第三象限角”的_条件 已知点在直线上，则实数的值为_已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线上，则，_ 2、同角三角函数关系还记得吗？齐次式呢？例如：若，则已知，则_； _3、熟记诱导公式吧！奇变偶不变,符号看象限(注意：公式中始终视a为锐角)例如：求值：；_ 已知 4、对函数掌握五点法作图，图象变换，注意对图象的影响。 例如：将函数上点的横坐标缩短到原来的，然后再向右平移个单位后的图象解析式是_将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴可以是_已知函数的图象（部分）如图所示，则_已知，函数在区间上单调，那么的取
11、值范围是_5、如何求函数的值域呢？对称轴、对称中心、单调区间、最小正周期呢？例如：函数的值域是_如果函数的图象关于对称，则的最小值为_ 设，若在上关于的方程有两个不等的实根，则_若函数在上单调递增，则的最大值为 函数的单调递增区间是_若函数的图象和直线的交点中，最近两点之间的距离为，则_6、三角公式记住了吗？两角和与差的公式？二倍角公式？解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数，看特征”,基本的技巧有：巧变角,公式变形使用,化切为弦,用倍角公式将高次降次。例如：函数是偶函数，则_化简 求值： 求值：= 已知_；已知，那么_ 若，则_ 的值为_ 已知，则的值等于_函数的单调递增区间为_
12、7、你还记得之间的关系吗？例如：已知，则若，则函数的最大值为_8、运用时千万别把算错呀！例如：已知为偶函数，则的值为_ 中，内角成等差数列，则的取值范围是_9、在三角函数求值中，千万别忽视角的取值范围，别让遗憾产生！例如：已知，则在中，则10、多项选择题，需要对知识掌握全面，不遗漏每个题支。给出下面的三个命题，其中正确的命题个数_（1）函数的最小正周期是；（2）函数在区间上单调递增；（3）是函数的图象的一条对称轴 下列五个命题，其中真命题的序号是 （1）的最小正周期是；（2） 终边在轴上的角的集合是；（3）在同一坐标系中，的图象和的图象有三个公共点；（4) 在上是减函数；（5）把的图象向右平移得到的图象。 下列命题，其中真命题的个数是_（1）若锐角满足 则；（2）若是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则； w.w.w.k.s.5 u.c.o.m（3）在中，“”是“”成立的充要条件；（4）要得到函数的图象, 只需将的图象向左
