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1、第四章 均衡净保费 一均衡净保费产生的原因 n寿险中自然保费是根据被保人的出险概率和保 额计算保费 保费会随着被保人的年龄增大而 提高 使人们年老时因缴不起昂贵的保费而退 保 失去保险保障 为克服自然保费的这种不 足 人们提出采用均衡净保费缴费方式 把自 然保费在长期内均衡化 平均化 在保费交付 期内 每隔一定时期交付相等数额的保险费 例1 n x 购买了一份保险 已知简略未来生命时间 长度的分布如下 n保额为常数1 在被保人死亡年度末支付 假 设保险的年度保费为P 在被保人或者的情况 下每年年初支付 确定保费 P n 1 亏损概率小于20 百分位保费 n 2 等价原则 n 3 指数保费原则
2、二 均衡净保费与趸缴净保费的关系 一 n均衡净保费厘定原则 平衡原则 n保险人的潜在亏损 保险人的损失 均值为零 给付金现值 纯保费现值 E 0 E 给付金现值 E 纯保费现值 n均衡 净保费与趸缴净保费的关系 E 趸缴净保费现值 E 均衡净保费现值 均衡净保费与趸缴净保费的关系 二 n趸缴净保费是满足未来给付的保费 它理论上应 该等于均衡净保费的现值 均衡净保费的缴付是 以被保人存活为条件的 它实际上是一个生存年 金 设趸缴净保费为A 每期缴均衡净保费为P 每 次一单位生存年金现值为 则有 三 均衡净保费的种类 n完全离散均衡净保费 n死亡年末给付 离散 n离散缴费 n完全连续均衡净保费 n
3、死亡即刻给付 连续 n连续缴费 n半连续均衡净保费 n死亡即刻给付 连续 n离散缴费 本章介绍 n各种模型下的均衡净保费的计算公式 n各种模型下的均衡净保费计算公式之间的关 系 n损失方差的计算 用于评估实际损失偏离收 付平衡 E 0 的程度 4 1 完全连续保费 1 终身人寿保险 n条件 x 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险 被保险人从 保单生效起按年连续交付保费 给付连续 缴费也连续 n厘定过程 终身人寿保险厘定过程 2 限期h年缴费的终生寿险 n假设 x 投保保额为1个单位的h年限期缴 费的完全连续型终生寿险 3 定期寿险 n假设 x 投保保额为1个单位的n年定期寿险 年缴保费次数与保险
4、期限相同 4 n年生存保险 n假设 x 投保保额为1个单位的n年生存保险 5 两全保险 n假设 x 投保保额为1个单位的n年普通两全 保险 年缴保费次数与保险期限相同 两全保险厘定过程 6 h年限缴的n年 两全保险 n假设 x 投保保额为1个单位的h年限缴的n年 两全保险 7 h年延期的终身生命年金 n假设 x 投保保额为1个单位的h年递期终身命年金 常见险种的完全连续均衡净保费总结 险种保费公式 终身人寿保险 n年定期寿险 n年生存保险 n年两全保险 h年支付终身寿险 h年支付n年两全保险 n年延期终身生命年金 例4 1 n已知利息力为0 06 死亡力为0 04 求 n注意当 为常值时 4
5、2 完全离散保费 1 普通终身寿险 n条件 x 死亡年末给付1单位终身人寿保险 被保险人从保单生效起按年期初缴费 n厘定过程 2 限期h年缴费的终生寿险 n假设 x 投保保额为1个单位的h年限期缴 费的终生寿险 3 定期寿险 n假设 x 投保保额为1个单位的n年定期寿险 年缴保费次数与保险期限相同 4 n年生存保险 n假设 x 投保保额为1个单位的n年生存保险 5 两全保险 n假设 x 投保保额为1个单位的n年普通两全 保险 年缴保费次数与保险期限相同 完全离散两全保险厘定过程 6 h年限缴的n年两全保险 n假设 x 投保保额为1个单位的h年限缴的n年 两全保险 7 h年递延终身生存保险 n假
6、设 x 投保保额为1个单位的h年递延终身生存保 险 常见险种的完全离散均衡净保费总结 险种保费公式 终身人寿保险 n年定期寿险 n年生存保险 n年两全保险 h年缴费终 身人寿保险 h年缴费 n年两全保险 m年递延终身生存保险 典型关系 例4 2 n设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率 函数为 n在其死亡年末赔付1单位的保单 每年年 初缴付保费P 当保费按平衡原理决定时 计算保险人亏损现值的期望值与方差 i 6 例4 2答案 例3 3 n假设终身寿险保单于30岁签单 保险金 额为20000元 试求 n 1 普通终身寿险的年缴净保费 n 2 20年限期缴费终身寿险的年缴净保 费 n 3 65岁缴清
7、终身寿险的年缴净保费 例4 3 n设年龄为25岁的人 购买15年定期寿险 保额为1000元 试求其自然净保费和 均衡净保费 例4 4 n设年龄为25岁的人 购买20年限缴的30 年储蓄寿险 保额为1000元 试求其均 衡净保费 例4 5 n试证 n 都是在 x 生存的前提下最多支付n年 的年缴保费 在n年期间两保险提供的保障一 样 在 x 死亡年度末支付1 若 x 生存至x n年 对应的保险是给被保 人在n时支付生存年金1 而 则留给被保人 一份单位保额的 x n 的终身寿险 且被保人 无须再缴费 在x n年往后二者待遇差相当于 一份 单位的n年期生存保险 由n 年缴费 年缴 对应 半连续均衡
8、纯保费厘定 终身寿险为例 n条件 x 死亡即刻给付1单位赔偿金 而被保 险人从保单生效起按年期初缴费 n厘定过程 常见险种的半连续均衡净保费保费总结 险种保费公式 终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终 身人寿保险 h年缴费 n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保 险 例4 6 n根据附录示例生命表及利率6 计算 例4 6答案 例4 7 n 25 购买保额为1000元的半连续式寿险 保单 年利率6 在udd假设下计算下列 各保单的年缴净保费 n1 普通终身寿险 n2 35年定期寿险 n3 35年储蓄寿险 n4 35年限期缴费终身寿险 4 3 每年缴纳数次的净保费厘定 n一
9、 真实分缴保费 年缴m 次 死亡保 额不作调整时的保费 计算年缴m次 每1 m年初缴纳等额的等额年度净保费 nm一般为2 4或12 每年缴纳数次的真实分缴净保费 厘定 n条件 在每一保单年度内 保费分m次 缴纳 n厘定过程 终身寿险为例 离散型真实分缴净保费公式总结 险种保费公式 终身人寿保险 n年定期寿险 n年生存保险 n年两全保险 h年缴费终 身人寿保险 h年缴费 n年两全保险 连续型真实分缴净保费公式总结 险种保费公式 终身人寿保险 n年定期寿险 h 年限缴 n年生存保险 n年两全保险 h年缴费终 身人寿保险 h年缴费 n年两全保险 其中 例4 7 n对于 50 的人死亡年末给付1万元的
10、20 年期两全保险 计算按半年分期缴费的 净均衡年保费 年利率6 n决定相应的死亡即刻给付的净均衡年保 费 例4 7答案 例4 7答案 例4 8 n 40 的人签发保额为5000元的全离散 式25年的定期寿险保单 试利用换算函 数表在UDD假设下计算 1 普通年缴净 保费 2 季缴净保费 3 月缴净保费 例4 9 n 20 的人签发保额为50000元的寿险 保单 试利用换算函数表在UDD假设下 计算下列保单的月缴净保费 1 普通年 缴净保费 2 季缴净保费 3 二 比例保费 n在六讨论的分期缴付的年缴保费中 被 保人死亡收益金额不作调整 本节讨论 据被保人死亡时间与下次预定缴费时间 间隔长短退
11、还部分保费 在实际中按比 例退还 不计利息 本节考虑利息 把 年缴m次保费序列看作比例期初生存年 金 以h年缴费n年定期两全保险为例 例4 10 n 年龄50岁者购买保额为10000元的20年 普通储蓄寿险的比例保单 每年真实缴 付保费两次 在UDD 假设下求年均衡净 保费增加多少 累计增额收益 n在保险实践中 有些保单规定被保人死 亡时退还已缴净保费的累积 这种退还 有两种不同的规定 不计息退还过去的 已缴净保费的累积和以规定的利息退还 过去的已缴净保费的累积部分 例4 11 n x 的n年定期寿险 若被保人在保险期内 死亡 除了赔付10000元外 还退还过去 的已缴净保费的累积 假设保险赔付在 死亡年末 保险费每年缴付一次 n年付 清 计算下面三种情况下的年缴均衡净 保费 1 退换的保费部分不计息 n其收支平衡公式为 2 退换的保费部分以不同于保单预定利 率i的利率j复利累计 n退还部分的给付现值随机变量W为 n其收支平衡公式为 3 退换的保费部分以保单定价预定利率 i复利累计 n退还部分的给付现值随机变量W为 n其收支平衡公式为
