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1、第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 2 方差 3 协方差及相关系数 4 矩 1 4 1 数学期望 数学期望的概念 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 数学期望 2 例1 某班有N人参加 考试 其中有ni个人为ai i 1 2 解 平均成绩为 若用X表示成绩 则 数学期望 求平均成绩 3 一 数学期望的概念 1 离散型 设离散型随机变量X的分布律为 若级数 绝对收敛 则称此级数的和为随 既有 数学期望简称期望 又称均值 数学期望 机变量 X 的数学期望 记作 EX 4 例1 甲 乙两人射击 他们射击水平由下表给出 数学期望 X 甲击中的环数Y 乙击中的环数 试问哪一个人的射击水平高 解
2、 甲 乙的平均环数为 甲的射击水平比乙的高 从平均环数上看 5 2 连续型 设连续型随机变量X的概率密度为f x 若积分 绝对收敛 则称此积分值为X的数学期望 记为 说 明 数学期望 X的数学期望刻画了X变化的平均值 6 例2 设随机变量X服从Cauchy分布 其概率密度函数为 数学期望 说 明 由于 因而EX不存在 1 定义中的级数与广义积分是否绝对收敛一般不验证 2 并不是任意一个随机变量均存在数学期望 7 例3 设有5个相互独立工作的电子装置 它们的寿命Xi i 1 2 3 4 5 都服从参数为 的指数分布 1 若将这5个电子装置并联 组成整机 求此整机的 平均寿命E M 2 若将这5个
3、电子装置串联 组成整机 求此整机的 平均寿命E N 数学期望 Xi 服从参数为 的指数分布解 Xi的概率密度函数为 Xi的分布函数为 8 1 令 M max X1 X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5是 其概率密度函数为 数学期望 独立同分布的 于是利用第三章第五节P99 5 7式 9 2 令 N min X1 X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5是 其概率密度函数为 数学期望 独立同分布的 于是利用第三章第五节P99 5 7式 10 N的分布函数为 其概率密度函数为 数学期望 2 令 N min X1 X2 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X5是 独
4、立同分布的 于是利用第三章第五节P99 5 8式 11 二 二维随机变量的数学期望 1 离散型 若 X Y 是二维离散型随机变量 其边缘 分布律为 绝对收敛 则称此级数之和为X的数学期望 如果级数 绝对收敛 则称此级数的和为Y 的数学期望 记为 E Y 数学期望 如果级数 记为 E X 12 若积分 绝对收敛 则称此积分值为X 记为 E X 若积分 绝对收敛 则称此积分值为Y 记为 E Y 数学期望 2 连续型 若 X Y 是二维连续型随机变量 其关于 X Y的边缘概率密度分别为 fX x fY y 的数学期望 的数学期望 13 若 X Y 联合分布律为pij i j 1 2 或f x y 则
5、 数学期望 14 三 随机变量函数的数学期望 定理1 设 Y g X g x 是连续函数 2 若X 的概率密度为 f x 1 若 X 的分布律为 pk P X xk k 1 2 数学期望 15 说明 1 一个随机变量的数学期望是一个常数 它 表示 随机变量取值的平均 与一般的算术平均值不 同 它 是以概率为权数的加权平均 反映了随机变 量分布的 一大特征 即随机变量取值集中在期望值 附近 数学期 望定义本身就是期望计算的公式 但须知随机变量的 分布率或概率函数 是否绝对收敛 并不是任何一个随机变 2 一个随机变量的数学期望存在与否取决于 量均存在数学期望 3 计算随机变量函数的数学期望时 只需
6、知道X 的分布即可 数学期望 16 定理2 若 X Y 是二维随机变量 1 若 X Y 的分布律为 2 若 X Y 的概率密度为 f x y 且 g x y 是二元 连续函数 数学期望 17 例6 设 X Y 在区域A上服从均匀分布 其中A为x轴 y 轴和直线x y 1 0所围成的区域 求EX E 3X 2Y EXY 解 数学期望 18 三 数学期望的性质 数学期望 1 Ec c c 是常数 若a X b 则 a EX b 2 E cX cE X c 是常数 3 E aX bY aEX bEY 4 若X Y相互独立 则E XY EX EY 19 证明3 若X Y是离散型随机变量 其联合概率函数为Pij 若X Y是连续型随机变量 其联合概率密度为f x y 数学期望 20 推论 设有随机变量 则有 推论 设有独立的随机变量则有 数学期望 21 例7 一民航送客载有20位旅客自机场开出 旅客有10 个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停 车 以X表示停车的次数 求EX 设每个旅客在各个车站 下车是等可能的 并设各旅客是否下车相互独立 数学期望 解 22
