《高中数学苏教版选修2-2第二章《推理与证明》本章归纳整合课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版选修2-2第二章《推理与证明》本章归纳整合课件（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本章归纳整合 知识网络 要点归纳 一 合情推理与演绎推理 1 归纳推理 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理 或者 由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳 推理 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 显 然归纳的个别情况越多 越具有代表性 推广的一般 性命题也就越可靠 应用归纳推理可以获得新的结论 2 类比推理 1 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征 的推理称为类比推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比的结论不一定为真 在一般情况下 如果类比的 相似性越多 相似性之间越相
2、关 那么类比得到的结论 也就越可靠 2 归纳推理的一般步骤 通过观察一系列情形发现 某些相同的性质 从已知的相同的性质中推出一般性 命题 2 类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的相似性或 一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的结论 注 归纳推理与类比推理都属于合情推理 两种推理所得的 结论未必是正确的 但它们对于发现新的规律和事实却是 十分有用的 3 演绎推理 1 从一个一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结 论的推理方法叫做演绎推理 它是一种由一般到特殊的 推理过程 是一种必然性推理 演绎推理的前提与结论 之间有蕴涵关系 因而 只要前提是真实的 推理的形 式是正确
3、的 那么结论必定是真实的 但是错误的前提 可能导致错误的结论 2 三段论 推理是演绎推理的一般模式 它包括 大前提 已知的一般性推理 小前提 所研究的特殊 情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 4 合情推理与演绎推理的区别与联系 1 区别 从定义上可以看出 合情推理与演绎推理的 区别是结论是否为真 合情推理的结论可能为真 但 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下 其结论必 定为真 故在数学论证中 证明命题的正确性 都是用 演绎推理 而合情推理不能用作证明 从推理形式上看 合情推理是由特殊到一般 归纳推理 或由特殊到特殊 类比推理 的认识过 程 而演绎推理是 由一般到特殊的认识过 程
4、 2 联系 二者相辅相成 演绎推理是证明数学结论 建 立数学体系的思维过程 但数学结论 证明思路等的发 现 主要靠合情推理 二 直接证明与间接证明 1 综合法 一般地 利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论 成立 这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件 已有的定义 定理 公理等 Q表示 所要证明的结论 则综合法可用框图表示为 2 分析法 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充 分条件 直至最后 把要证明的结论归纳为 判定一个明 显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 这种 证明的方法叫做分析法 用Q表示要证明的结论 则分 析法可
5、用框图表示为 分析法的特点 从 未知 看 需知 逐步靠拢已知 其逐步推理 实际上是寻找它成立的充分条件 3 反证法 1 定义 一般地 假设原命题的结论不成立 经过正确 的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明 了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 2 用反证法导出的矛盾主要有 与假设矛盾 与数 学公理 定理 定义 公式或与已被证明了的结论矛盾 与公认的简单事实矛盾 3 步骤 分清命题的条件和结论 作出命题结论 相 矛盾的假设 由假设出发 应用正确的推理方法 推 出矛盾的结果 否定假设 从而间接的证明了结论 4 三种证明方法的总结 在解决问题时 经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条
6、件的结构特点去转化结论 得到中间结论 Q 根 据结论的特点去转化条件 得到中间结论 P 若由P可以 推出Q成立 就可以证明结论成立 在证明一个问题时 如果不容易从条件到结论证 明时 采取分析的方法或 者是间接证明的方法 反证法 有时证明一道题需多法 并用 三 数学归纳法 1 用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成 缺一不可 尽 管有些与正整数有关的命题用其他方法也可以解决 但 题目若要求用数学归纳法证明 则必须严格按照数学归 纳法的步骤进行 否则是不正确的 2 用数学归纳法证题的两个步骤的作用 第一步是验证命题递推的基础 第二步是论证命题递 推的依据 两个步骤密切相关 缺一不可 步骤一是要 选取使
7、命题成立的最小的正整数n0作为起始值进行验证 步骤二推证当n k 1时命题成立的过程中 必须要 用到当n k时命题成立这个归纳假设 否则推理无法进 行或推理无效 完成了以上两个步骤 最后应完整地写 出结论 四 归纳 猜想 证明 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型 此类问题 未给出问题结论 需要由特殊情况入手 猜 想 证明一般结论的问题称为探求规律性问题 它的 解题思路是 从给出条件出发 通过观察 试验 归 纳 猜想 探索出结论 然后再对归纳 猜想的结论 进行证明 专题一 合情推理与演绎推理 数学发现活动是一个探索创造的过程 是一个不断提出猜 想 验证猜想的过程 合情推理是富于创造性
8、的必然推理 它为演绎推理确定了目标和方向 具有提出猜想 发现结 论的作用 演绎推理是形式化程度较高的必然推理 它具有 实验的功能 不仅为合情推理提供了前提 而且可以对猜 想做出判断和证明 研究近三年的高考题 可以发现 考查合情推理和演绎推 理多借助于其他数学知识 通过类比 猜想 归纳 或用 三段论式的推理 得出某些结论 在选择题 和解答题中有 明显体现 运用合情推理时 要认识到观察 归纳 类比 猜想 证 明是相互联系的 在解决问题时 可以先从观察入手 发 现问题 的特点 形成解决问题的初步思路 然后用归纳 类比的方法进行探索 猜想 最后用逻辑推理方法进行验 证 例1 在平面上 我们如果用一条直
9、线去截正方形的一个 角 那么截下的一个直角三角形 按图所标边长 由 勾股定理有 c2 a2 b2 设想正方形换成正方体 把截 线换成如图所示的截面 这时从正方体上截下三条侧 棱两两垂直的三棱锥O LMN 如果用S1 S2 S3表示三 个侧面面积 S4表示截面面积 那么你类比得到的结 论是 解析 在进行类比推理时 应该注意平面图形中的点 线分 别与空间图形中的线 面类比 平面图形的长度 面积分别 与空间图形中的面积 体积类比 结论易得 答案 S S S S 例2 自然数按下表的规律排列 则上起第2 007行 左起第2 008列的数为 A 2 0072 B 2 0082 C 2 006 2 007
10、 D 2 007 2 008 解析 经观察可得这个自然数表的排列特点 第一列的每个数都是完全平方数 并且恰好等于它所在行 数的平方 即第n行的第1个数为n2 第一行第n个数为 n 1 2 1 第n行从第1个数至第n个数依次递减1 第n列从第1个数至第n个数依次递增1 故上起第2 007行 左起第2 008列的数 应是第2 008列的第2 007个数 即为 2 008 1 2 1 2 006 2 007 2 008 答案 D 点拨 根据立体几何中平行与垂直关系的判定和性质定 理 通过做出适当的辅助线即可求解 2 连结FG 因为EF CG EF CG 1 且CE 1 所以四边形CEFG为菱形 所以
11、CF EG 因为四边形ABCD为正方形 所以BD AC 又因为平面ACEF 平面ABCD 且平面ACEF 平面ABCD AC 所以BD 平面ACEF 所以CF BD 又BD EG G 所以CF 平面BDE 专题二 直接证明 由近三年的高考题可以看出 直接证明的考查中 各种题型 均有体现 尤其是解答题 几年来一直是考查证明方法的 热点与重点 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 也是 解决数学问题常用的思维方式 如果从解题的切入点的角度 细分 直接证明方法可具体分为 比较法 代换法 放缩 法 判别式法 构造函数法等 应用综合法证明问题时 必须首先想到从哪里开始起步 分析法就可以帮助我们
12、克服 这种困难 在实际证 明问题时 应当把分析法和综合法结 合起来使用 已知a b c为互不相等的实数 求证 a4 b4 c4 abc a b c 证明 a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 c4 a4 2a2c2 又a b c互不相等 上面三式中至少有一个式子不能取 号 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 2ab a2c2 b2c2 2abc2 同理a2b2 a2c2 2a2bc b2c2 b2a2 2ab2c a2b2 b2c2 c2a2 abc2 a2bc ab2c 由 得a4 b4 c4 abc a b c 例4 例6 ABC的三个内角A B C成等差
13、数列 求证 a b 1 b c 1 3 a b c 1 专题三 反证法 如果一个命题的结论难 以直接证明时 可以考虑反证法 通过否定结论 经过逻辑 推理 得出矛盾 从而肯定原结 论成立 反证法是高中数学的一种重要的证明方法 在不等式和立体 几何的证明中经常用到 在高考题中也经常体现 它所反 映出的 正难则反 的解决问题的思想方法更为重要 反证 法主要证明 否定性 唯一性命题 至多 至少型问题 几 何问题 专题四 数学归纳法 学习数学归纳法时 首先要明确不完全归纳和完全归纳的 作用 区别与联系 数学归纳法事实上是一种完全归纳的 证明方法 它适用于与自然数有关的问题 两个步骤缺一不 可 否则结论
14、不成立 在证明递推步骤时 必须使用归纳 假设 必须进行恒等变换 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型 此 类问题 未给出问题的结论 需要由特殊情况入手 猜想 证明一般结论 它的解题思路是 从给出条件出发 通过 观察 试验 归纳 猜想 探索出结论 然后再对归纳 猜想的结论进 行证明 2 由 1 知a1 1 a2 6 a3 15 a4 28 由此猜想an n 2n 1 下面用数学归纳法加以证明 当n 1时 a1 1 2 1 1 1 结论成立 当n 2时 a2 2 2 2 1 6 结论成立 假设当n k k 2 k N 时 结论成立 即ak k 2k 1 命题趋势 1 合情推理与演绎推理是
15、科学产生与发展的两个重要的方 面 它们相辅相成 互为补充 对于问题的发现与解 决起到了举足轻重的作用 同时 推理又是数学思维的 基本思维过程 而数学课程一个重要的目标是培养和提 高考生的推理能力 因此 合情推理与演绎推理在新课 标高考中占有重要的地位 是新课标高考的重要内容之 一 其主要要求是 会用归纳和类比推理解决简单的问 题 灵活运用演绎推理证明数学中各个方面的问题 从近年来的新课标高考看 新课标高考对本部分的考查 直接涉及的多为小题 主要考查利用归纳推理 类比推理 去寻求更为一般的 新的结论 而其他主要是渗透到数学 问题的求解之中 因此 对本部分知识的复习 要注意做 好以下两点 一要熟悉
16、归纳推理 类比推理 演绎推理的一 般原理 步骤 格式 搞清合情推理与演绎推理的联系与区 别 二要把握归纳推理 类比推理 演绎推理的基本应用 在给定的条件下 能够运用归纳推理 类比推理获得新 的一般结论 能够运用演绎推理对数学问题进 行严格的证 明 2 直接证明与间接证明是解决数学证明问题的两种重要的 思想与方法 是数学证明题的核心 也是数学学习的重 要内容 从近三年的新课标高考看 高考对本部分考查 的难度多为中档题 也有高档题 其相关知识常常涉及 数学的各个方面 主要是不等式 数列 三角函数 向 量 函数 解析几何 立体几何等 在备考中 对本部分的内容 要抓住关键 即分析法 综合 法 反证法 要搞清三种方法的特点 把握三种方法在解决 问题中的一般步骤 熟悉三种方法适用于解决的问题的类 型 同时也要加强训练 达到熟能生巧 有效运用它们的目 的 3 数学归纳法是解决与正整数有关的数学命题证明的一种 方法 是高考常考的一个重要内容 从近三年的新课标高考看 对本部分的考查常常在解答 题中进行 且多为解答题中的某一个小问 但考查问题 多涉及数列 不等式 整除问题以及几何问题等 范围 广 因此 备
