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1、4.3空间直角坐标系课后篇巩固提升1.设A(1,-1,1),B(3,1,5),则AB中点在空间直角坐标系中的位置是()A.y轴上B.xOy面内C.xOz面内D.yOz面内解析因为A(1,-1,1),B(3,1,5),所以线段AB的中点坐标为(2,0,3),该点在xOz面内.答案C2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|=()A.B.C.D.解析AB的中点M的坐标为,故|CM|=.答案C3.设点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1,则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是()A.(1,1,-1)B.(-1,-1,-1)C.(-1,-1,1
2、)D.(1,-1,1)解析易知点P关于xOy平面的对称点P1(1,1,-1),则点P1关于z轴的对称点P2(-1,-1,-1).答案B4.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析由空间两点间的距离公式,得|AB|=,|AC|=,|BC|=.AC2+BC2=AB2.又BCAC,ABC为直角三角形.答案C5.在空间直角坐标系中,点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为,则m的值为()A.-9或1B.9或-1C.5或-5D.2或3解析由题意|PP1|=,即,(m-4)2=25,解得m=9或
3、m=-1.故选B.答案B6.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=BC=2,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是()A.B.C.D.解析建立如图所示空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4),P(0,t,2t),t0,2,Q(2-m,m,0),m0,2.PQ=,当且仅当5t=m=时,PQ取最小值,故选C.答案C7.已知A(-4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1,A关于z轴的对称点为A2,则|A1A2|等于.解析由题可知A1(-4,-2,3),A2(4,2,3),|A1A2|=4.答案48.已知点P在z轴上,且满足|O
4、P|=1(O为坐标原点),则点P到点A(1,1,1)的距离是.解析点P在z轴上,且|OP|=1,点P的坐标是P(0,0,1)或P(0,0,-1).|PA|=或|PA|=.答案9.已知平行四边形ABCD,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为.解析由平行四边形对角线互相平分知,AC的中点即为BD的中点,AC的中点M.设D(x,y,z),则,4=,-1=,x=5,y=13,z=-3,D(5,13,-3).答案(5,13,-3)10.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-ABCD,AC的中点E到AB的中点F的距离为.解析由图易知A(a,0,
5、0),B(a,a,0),C(0,a,0),A(a,0,a).F,E.|EF|=a.答案a11.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,BCA=90,|AA1|=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点,求MN的长.解以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.|CA|=|CB|=1,|AA1|=2,N(1,0,1),M,2.由两点间的距离公式,得|MN|=,MN的长为.12.如图建立空间直角坐标系,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是正方体对角线D1B的中点,点Q在棱CC1上.(1)当2|C1Q
6、|=|QC|时,求|PQ|;(2)当点Q在棱CC1上移动时,探究|PQ|的最小值.解由题意,知B(1,1,0),D1(0,0,1),故BD1的中点P.由于点Q在CC1上,故Q点坐标可设为(0,1,a)(0a1).(1)由2|C1Q|=|QC|,易知|QC|=,故Q.从而|PQ|=.(2)由题意,知|PQ|=(0a1).当a=时,取得最小值.从而|PQ|min=,此时Q.13.在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.解由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影R在OC上,又底面边长为a,所以OC=a,而侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的坐标为(x0),又Q点在底面ABCD的对角线BD上,所以可设Q点的坐标为(y,y,0),因此P,Q两点间的距离|PQ|=,显然当x=,y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于,这时,点P为SC的中点,点Q为底面的中心.资
