《高中数学复习课（三）导数及其应用讲义（含解析）新人教A版选修1_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学复习课（三）导数及其应用讲义（含解析）新人教A版选修1_1（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复习课(三)导数及其应用导数的概念及几何意义的应用近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般题目难度较小考点精要(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解典例(2017天津高考)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_解析由题意可知f(x)a，所以f(1)a1，因为f(1)a，所以切点坐标为(
2、1，a)，所以切线l的方程为ya(a1)(x1)，即y(a1)x1.令x0，得y1，即直线l在y轴上的截距为1.答案1类题通法(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，yx3在(1,1)处的切线l与yx3的图象还有一个交点(2，8)1曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选Ay，ky|x12，切线方程为：y12(x1)，即y2x1.2已知曲线yx31与曲线y3x2在xx0处的切
3、线互相垂直，则x0的值为()A. B.C. D.解析：选Dyx31y3x2，y3x2yx，由题意得3x(x0)1，解得x，即x0，故选D.导数与函数的单调性题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题考点精要函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x)在(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递减反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增f(x)0；函
4、数f(x)在(a，b)上单调递减f(x)0.即f(x)0(f(x)0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“”连接典例(2017全国卷节选)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax2a1.若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减类题通法求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)计算函数f(x)的导数f(x)(3)解不等式f(x)0
5、，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f(x)0，得到函数f(x)的递减区间注意求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误1函数f(x)2x2ln x的单调递增区间是()A. B.和C. D.和解析：选C由题意得f(x)4x，且x0，由f(x)0，即4x210，解得x.故选C.2已知函数f(x)x22xaex.(1)若a1，求f(x)在x1处的切线方程；(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x22xex，则f(1)1221ee，f(x)x2ex，f(1)12e1e，故曲线yf(x)在x1处的切线方程为y(1e)(x1)，即y(1
6、e)x.(2)f(x)在R上是增函数，f(x)0在R上恒成立，f(x)x22xaex，f(x)x2aex，于是有不等式x2aex0在R上恒成立，即a在R上恒成立，令g(x)，则g(x)，令g(x)0，解得x3，列表如下：x(，3)3(3，)g(x)0g(x)故函数g(x)在x3处取得极小值，亦即最小值，即g(x)min，所以a，即实数a的取值范围是.导数与函数的极值、最值从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大考点精要1导数与函数单调性、极值的关系(1)f(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充
7、分不必要条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f(x0)0时，x0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论典例(2017北京高考)已知函数f(x)ex cos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(
8、0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.类题通法1求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程f(x)0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那
9、么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值2求函数的最值的方法(1)求f(x)在(a，b)内的极值(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在a，b上的最值1函数f(x)13xx3()A有极小值，无极大值 B无极小值，有极大值C无极小值，无极大值 D有极小值，有极大值解析：选Df(x)3x23，由f(x)0，得x1.当x(1,1)时，f(x)0，f(x)的单调增区间为(1,1)；同理，f(x)的单调减区间为(，1)和(1，)当x1时，函数有极小值1，当x1时，函数有极大值3，故选D.2已知函数f(x)(x1)，(1)试判
10、断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)若f(x)恒成立，求实数k的取值范围解：(1)f(x)，x1，ln x0，f(x)0.故函数f(x)在1，)上单调递减(2)x1，f(x)k，令g(x)，g(x).再令h(x)xln x，则h(x)1.x1，则h(x)0，h(x)在1，)上单调递增h(x)minh(1)10，从而g(x)0，故g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)2，k2.故实数k的取值范围为(，2.生活中的优化问题优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档考点精要解答思路典例某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水
11、池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000 元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又据题意知200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r5
12、，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大类题通法利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域(2)
13、求方程f(x)0的所有实数根(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值1书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分_次进货、每次进_册，可使所付的手续费与库存费之和最少解析：设每次进书x千册(0x150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即，故有y3040，y20，当0x15时，y0，当15x150时，y0.故当x15时，y取得最小值，此时进货次数为10(次)即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少答案：1015 0002一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此
