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1、第9课时简单的线性规划问题1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.3.能从实际情境中抽象出简单的线性规划问题.世界杯冠军意大利足球队营养师布拉加经常遇到这样一类营养调配问题:甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表:甲乙丙维生素A(单位/千克)400600400维生素B(单位/千克)800200400成本(元/千克)765布拉加想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位.问题1:(1)假设布拉加购买了甲种食物x千克,乙种食物y千克,则按
2、照布拉加对维生素A、B的含量要求,x,y应该满足的条件是400x+600y+400(10-x-y)4400,800x+200y+400(10-x-y)4800,x0,y0,10-x-y0,即y2,2x-y4,x0,x+y10.形如这样的由变量x,y组成的不等式(组)或等式叫作,由变量x,y组成的一次不等式(组)或等式叫作.(2)设布拉加购买三种食物的成本为z,则z=,像z这样的关于x、y的函数叫作,关于x、y的一次函数叫作,目的是求z的最大值或最小值.(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫作;由所有可行解组成的集合叫作;使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的.问题2:用图解法解决线
3、性规划问题的一般步骤: (1)画出;(2)令z=0作出直线l0:ax+by=0;(3)作一组与直线l0的直线系或平移直线l0;(4)找到;(5)解方程组;(6)写出答案,并检验.问题3:图解法可概括为“画、移、求、答”.即(1)画:画出可行域和直线ax+by=0(目标函数是z=ax+by);(2)移:移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;(3)求:求出使z取得最大值或最小值的点的(解方程组)及z的最大值或最小值;(4)答:给出正确答案,并检验.问题4:在求线性目标函数的最值时,我们可以归纳出如下结论:(1)线性目标函数的最值一般在处取得.(2)线性目标函数的最值也
4、可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有.1.若x2,y2,x+y2,则目标函数z=x+2y的取值范围是().A.2,6B.2,5C.3,6D.3,52.若x,y满足约束条件x+y1,x-y-12x-y2,则目标函数z=x+2y取最小值时所对应点的坐标为().A.(0,1)B.(1,0)C.(1,1)D.(3,4)3.已知变量x、y满足约束条件y+x-10,y-3x-10,y-x+10,则z=x+y的最大值为.4.购买8角和2元的邮票若干张,并要求每种邮票至少有两张.如果小明带有10元钱,问有多少种买法?线性目标函数的最值问题已知变量x、y满足下列条件:3x-y-20,x-y+20,x-
5、2y+10,x5,y5.试求:z=4x-y的最大值.线性目标函数最值整数点问题已知x,y满足不等式组2x-y-30,2x+3y-60,3x-5y-150,2y-30,求z=yx的最大值与最小值.设z=2y-2x+4,式中x、y满足条件0x1,0y2,2y-x1,求z的最大值和最小值.已知x、y满足不等式组2x+y300,x+2y250,x0,y0,试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标,及相应的z的最大值.实数x,y满足x-y+10,x0,y2.(1)若z=yx,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;(2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围.1.若实数x,y满
6、足不等式组x+y2,2x-y4,x-y0,则2x+3y的最小值是().A.2B.3C.4D.52.给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是().A.23B.12C.2D.323.已知实数x,y满足不等式组x+y-10,x-10,3x-y+10,则z=2x+y的取值范围为.4.在平面直角坐标系中,不等式组x+y0,x-y0,xa(a为正常数)表示的平面区域的面积是4,求2x+y的最大值.1.(2013年天津卷)设变量x,y满足约束条件3x+y-60,x-y-20,y-30,则目标函数z=y-2x的
7、最小值为().A.-7B.-4C.1D.2考题变式(我来改编):2.(2013年湖南卷)若变量x,y满足约束条件y2x,x+y1,y-1,则x+2y的最大值是().A.-52B.0C.53D.52考题变式(我来改编):第9课时通项公式an的求法知识体系梳理问题1:f(n)f(n-1)f(3)f(2)a1+f(2)+f(3)+f(n-1)+f(n)问题2:f(n)f(n-1)f(3)f(2)f(2)f(3)f(n-1)f(n)a1f(2)f(3)f(n-1)f(n)问题3:S1(n=1),Sn-Sn-1(n2)问题4:(1)an+a2-a1p(a2-a1)pn-1(2)1an+1b基础学习交流1
8、.B当n2时,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,两式相减,得an+1-an=Sn-Sn-1=an,即an+1=2an,则a2=a1+1=3,a6=a224=316=48.2.B由an+1=2an+2n+1得an+12n+1-an2n=1,数列an2n是首项为2,公差为1的等差数列,即an2n=2+(n-1)1=n+1,an=(n+1)2n,故选B.3.-1719依题意知,数列11+an是以11+a1=12为首项,1为公差的等差数列,11+an=12+(n-1)1=2n-12,an=3-2n2n-1,a10=-1719.4.解:(1)由题意可得a2=a1+4=5,a3=a2+7=12.(2
9、)由已知:an=an-1+3n-2(n2)得an-an-1=3n-2,由递推关系,得an-1-an-2=3n-5,a3-a2=7,a2-a1=4,叠加得:an-a1=4+7+3n-2=(n-1)(4+3n-2)2=3n2-n-22,an=3n2-n2(n2).当n=1时,1=a1=312-12=1,适合上式,数列an的通项公式an=3n2-n2.重点难点探究探究一:【解析】设an+t=3(an-1+t),则an=3an-1+2t,t=1,于是an+1=3(an-1+1).an+1是以a1+1=2为首项,3为公比的等比数列.an=23n-1-1.【小结】递推公式an+1=pan+q(p1,q0)
10、求通项的常用方法主要有两种:1.化成等比数列an+t,然后利用通项公式即可求出;2.由an+1=pan+q,得an=pan-1+q,-得:an+1-an=p(an-an-1),由等比数列的通项公式求an-an-1=(a2-a1)pn-1,再用累加法求出an.探究二:【解析】an-an-1=2n-1(n2),a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,an-an-1=2n-1,上述n-1个等式相加可得:an-a1=n2-1,an=n2.【小结】一般情况下,累加法里只有n-1个等式相加.探究三:【解析】(1)由b1=a2-a10,可得:b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)
11、0.由题设条件,当n2时,bnbn-1=an+1-anan-an-1=f(an)-f(an-1)an-an-1=k(an-an-1)an-an-1=k,故数列bn是公比为k的等比数列.(2)由(1)知bn=kn-1(a2-a1)(nN+),b1+b2+bn-1=(a2-a1)1-kn-11-k(n2),而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an-a1(n2),an-a1=(a2-a1)1-kn-11-k(n2),故an=a+f(a)-a1-kn-11-k(nN+).问题上述解法正确吗?结论不正确.(2)中要分k1和k=1进行讨论,以及对n要分n=1和n2进行讨论.于是
12、,正确的解答为:(1)同错解部分.(2)由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(nN+),当k1时,b1+b2+bn-1=(a2-a1)1-kn-11-k(n2);当k=1时,b1+b2+bn-1=(n-1)(a2-a1)(n2).而b1+b2+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=an-a1(n2),当k1时,an-a1=(a2-a1)1-kn-11-k(n2),上式对n=1也成立,数列an的通项公式为an=a+f(a)-a1-kn-11-k(nN+);当k=1时,an-a1=(n-1)(a2-a1)(n2),上式对n=1也成立,所以数列an的通项公式
13、为an=a+(n+1)f(a)-a(nN+).【小结】利用等比数列前n项和公式时务必要考虑q=1和q1两种情况.思维拓展应用应用一:由an+1=2anan+2得:1an+1=1an+12,数列1an是以1a1=1为首项,12为公差的等差数列,1an=1+12(n-1)=n+12,an=2n+1.应用二:an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=nn+1n-1nn-2n-134231=2n+1.又a1也满足上式,an=2n+1(nN+).应用三:(1)an+1=3an-2an-1,an+1-an=2(an-an-1)(n2),则数列an+1-an是以a2-a1=2为
14、首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得an+1-an=22n-1=2n,a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,an-an-1=2n-1,上述n-1个等式相加可得an-a1=2(1-2n-1)1-2=2n-2,an=2n(nN+).基础智能检测1.B当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=23n-1,又a1=S1=31-1=2满足an=23n-1,故选B.2.A(法一)取n=2,则a2=a1+ln 2=2+ln 2,排除C、D;取n=3,则a3=a2+ln(1+12)=2+ln 2+ln32=2+ln 3,排除B,选A.(法二)an+1=an+ln(1+1n),a2-a1=ln(1+11)=ln 2,a3-a2=ln(1+12)=ln32,a4-a3=ln(1+13)=ln43,an-an-1=ln(1+1n-1)=lnnn-1.相加得:an-a1=ln 2+ln32+lnnn-1=ln n,a1=2,an=2+ln n.3.
