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1、第8课时等比数列的应用1.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质.2.能应用等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题.前面我们共同学习了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累差法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等比数列的定义,通项公式,前n项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中地位重要.问题1:等比数列通项公式的性质(1)对任意的m,nN+,an=am,q=.(2)若m+n=p+q,则,特别地,若m+n=2p,则.(3)am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等比数列,公比为.(4)数列an是等比数列,则数列pan(p0,
2、p是常数)也是等比数列,公比为.若an为等比数列,公比为q,则a2n也是等比数列,公比为.若an为等比数列,公比为q(q-1),则a2n-1+a2n也是等比数列,公比为.若an、bn是等比数列,则anbn也是等比数列,公比是两等比数列公比之.问题2:等比数列的前n项和的简单性质(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等比数列,且公比为(q1).(2)当q1时,Sn=Aqn+B(其中A+B=).(3)Sn+m=Sm+qmSn(q为公比).问题3:等比数列的判定方法(1)定义法:若=q(q为非零常数且n2),则an是等比数列;(2)等比中项法:若an0且an+12=(nN+),则an是等
3、比数列;(3)通项公式法:若an=c(c,q均是不为0的常数,nN+),则an是等比数列;(4)前n项和公式法:若Sn=kqn+(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列.问题4:等比数列的单调性(1)当a10,q1时,等比数列an是递数列;(2)当a10,0q0,0q1时,等比数列an是递数列;(4)当a11时,等比数列an是递数列;(5)当qcn(nN+).在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.在an中,a1=1,an+1=anan+3,试求数列an的通项an.已知函数f(x)=-x2+7x,数列an的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)
4、的图像上.(1)求数列an的通项公式及Sn的最大值;(2)令bn=2an,其中nN+,求nbn的前n项和Tn.1.在等比数列中,an0且an+2=an+3an+1,则公比q等于().A.3-132 B.3+132 C.3D.-32.等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3等于().A.12B.23C.34D.133.一个等比数列an共有2n+1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an+1=.4.一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.(2009年辽宁卷)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S
5、6等于().A.2B.73C.83D.3考题变式(我来改编):第8课时等比数列的应用知识体系梳理问题1:(1)qn-mn-manam(2)aman=apaqaman=ap2(3)qk(4)qq2q2积问题2:(1)qm(2)0问题3:(1)anan-1(2)anan+2(3)qn(4)-k问题4:(1)增(2)增(3)减(4)减(5)摆动常基础学习交流1.B由题意得an=10n-1,Sn=a1+a2+an=(10-1)+(102-1)+(10n-1)=(10+102+10n)-n=10(10n-1)9-n.2.A由a2013=3S2012+2014与a2012=3S2011+2014相减得,a
6、2013-a2012=3a2012,即q=4,故选A.3.126在等比数列an中,S2、S4-S2、S6-S4成等比数列,S2=6,S4-S2=24,S6-S4=2426=96,S6=S4+96=126.4.解:由an=23n得an+1an=23n+123n=3,又a1=6,an是等比数列,其公比为q=3,首项a1=6,an的奇数项也成等比数列,公比为q2=9,首项为a1=6,Sn=6(1-9n)1-9=34(9n-1).重点难点探究探究一:【解析】(法一)an为等比数列,S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或-21.S4=a1+a2+a3
7、+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,S4=28.(法二)S2=7,S6=91,q1.a1(1-q2)1-q=7,a1(1-q6)1-q=91,得q4+q2-12=0,q2=3,q=3.当q=3时,a1=7(3-1)2,S4=a1(1-q4)1-q=28;当q=-3时,a1=-7(3+1)2,S4=a1(1-q4)1-q=28.【小结】等比数列中项数相等的连续项的和若不为零时,则连续项的和仍成等比数列.探究二:【解析】(1)a1=1,a2=32,a2-a1=32-1=12,又an+2-an+1=12an+1-12an.an+2-an+1an+1-an=12
8、,即dn+1=12dn.故数列dn是以12为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)得dn=an+1-an=(12)n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(12)n-1+(12)n-2+(12)1+1=2-(12)n-1.【小结】通过递推关系求数列通项的关键是构造新数列,比如等差或等比数列.探究三:【解析】(1)设公差为d,则4a1+6d=14,(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=2,d=1或a1=72,d=0(舍去),an=n+1,Sn=n(n+3)2.又a1=2,d=1,a3=4,即b2=4.数列bn的首项为b1=2,公比q=b2b1=2
9、,bn=2n,Tn=2n+1-2.(2)Kn=221+322+(n+1)2n,2Kn=222+323+n2n+(n+1)2n+1,-得-Kn=221+22+23+2n-(n+1)2n+1,Kn=n2n+1,则cn=SnTnKn=(n+3)(2n-1)2n++1-cn=(n+4)(2n+1-1)2n+2-(n+3)(2n-1)2n+1=2n+1+n+22n+20,cn+1cn(nN+).【小结】掌握等差数列、等比数列的有关性质和错位相减法求和,以及利用比差法比较大小等知识.思维拓展应用应用一:an为等比数列,且由已知可得q1,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,(S2n-Sn)2=S
10、n(S3n-S2n),S3n=(S2n-Sn)2Sn+S2n=(60-48)248+60=63.应用二:原式可变为1an+1=3an+1,可变形为1an+1+12=3(1an+12),1an+12为等比数列,首项为1a1+12=32,公比为3,1an+12=323n-1,an=23n-1.应用三:(1)点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图像上,且f(x)=-x2+7x,有Sn=-n2+7n.当n=1时,a1=S1=6;当n2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式,an=-2n+8(nN+).Sn=-n2+7n=-(n-72)2+494,当n=3或n=4时,Sn取
11、得最大值12.综上,an=-2n+8(nN+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.(2)由题意得b1=26=8,bn=2-2n+8=2-n+4,bn+1bn=12,数列bn是首项为8,公比为12的等比数列,故nbn的前n项和Tn=123+222+n2-n+4,12Tn=122+22+(n-1)2-n+4+n2-n+3,-得:12Tn=23+22+2-n+4-n2-n+3,Tn=161-(12)n1-12-n24-n=32-(2+n)24-n.基础智能检测1.B由题意知anq2=an+3anq,q2-3q-1=0,q=3+132或q=3-132(舍去).2.Can为等比数列,显然S6-S3
12、0,S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即(S6-S3)2=S3(S9-S6),又S6S3=12,14S32=S3(S9-12S3),即34S3=S9,S9S3=34.3.56an+1为数列an的中间项,其中奇数项有n+1项,偶数项有n项,且奇数项之积为T奇=(an+1)n+1,偶数项之积为T偶=(an+1)n,所以an+1=T奇T偶=56.4.解:设该等比数列有2n项,则奇数项有n项,偶数项有n项,设公比为q,由等比数列的性质可得S偶S奇=17085=2=q.又S奇+S偶=a1(1-q2n)1-q=255,a1=1,2n=8,此数列的公比为2,项数为8.全新视角拓展BS6S3=q6-1q3-1=q3+1=3,q3=2,S9S6=q9-1q6-1=8-14-1=73.资
