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1、第7课时等比数列的前n项和1.掌握等比数列的前 n项和公式的推导方法.2.应用等比数列的前 n项和公式解决有关等比数列的问题.3.会求等比数列的部分项之和.印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨班达依尔,并问他想得到什么样的奖赏.大臣说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格内的麦子数增加一倍,直到把每一小格都摆上麦子为止,并把这样摆满棋盘上六十四格的麦子赏给您的仆人.”国王认为这位大臣的要求不算多,就爽快地答应了.国王能实现他的诺言吗? 问题1:等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=;当q1时
2、,Sn=.问题2:我们来帮国王计算下要多少粒麦子,把各格所放的麦子数看成是一个数列an,它是一个a1=1,q=2,n=64的等比数列,问题转化为求数列an的前64项的和,可求得Sn=264-1,而264-1这个数很大,超过了1.841019,所以国王根本实现不了这个诺言.问题3:用错位相减法来推导等比数列的前 n项和公式:设等比数列an的公比为q,它的前n项和是Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1.q得qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn.-得(1-q)Sn=.当q=1时,该数列是常数列,Sn=;当q1时,该等比数列的前n项和公式为:Sn=.即Sn=na1,q=1,a1(1-
3、qn)1-q,q1.问题4:用等比数列的定义推导等比数列的前 n项和公式:由等比数列的定义,有a2a1=a3a2=anan-1=q.根据等比的性质,有a2+a3+ana1+a2+an-1=q.(1-q)Sn=a1-anq,即Sn=na1,q=1,a1-anq1-q,q1.1.在等比数列an(nN+)中,若a1=1,a4=18,则该数列的前10项和为().A.2-124B.2-129C.2-1210D.2-12112.等比数列的前4项和为1,前8项和为17,则这个等比数列的公比q等于().A.2B.-2C.2或-2D.2或13.等比数列an的公比q0,已知a2=1,an+2+an+1=6an,则
4、an的前4项和S4=.4.求等比数列1,2a,4a2,8a3,的前n项和Sn.考查等比数列的前 n项和公式设数列an是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.考查分组求和法已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2(1a1+1a2)=8(1a3+1a4).(1)求an的通项公式;(2)设bn=an2+log2an,求数列bn的前n项和Tn.对变量的分类讨论Sn是无穷等比数列an的前n项和,且公比q1,已知1是12S2和13S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求此数列an的前n项和公式.在等比数列an中,已知S3=72,S6=63
5、2,求an.求数列1+12,2+14,3+18,的前n项和Sn.等差数列an中,公差d0,a2是a1与a4的等比中项,已知数列a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列.(1)求数列kn的通项kn;(2)求数列nkn的前n项和Sn.1.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则S5S2等于().A.11B.5C.-8D.-112.在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于().A.33B.72C.84D.1893.已知等比数列an的首项为8,Sn是其前n项和,某同学经计算得S2=24,S3=38,S4=65,后来该同学发现其中一个和算错了
6、,则算错的是,该数列的公比是.4.在等比数列an中,若a1=12,a4=-4,求公比q和|a1|+|a2|+|an|.(2013年全国大纲卷)已知数列an满足3an+1+an=0,a2=-43,则an的前10项和等于().A.-6(1-3-10)B.19(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)考题变式(我来改编):第7课时等比数列的前n项和知识体系梳理问题1:na1a1(1-qn)1-qa1-anq1-q问题2:a1(1-qn)1-q1(1-264)1-2问题3:a1-a1qnna1a1(1-qn)1-q问题4:Sn-a1Sn-an基础学习交流1.B设数列an的公比为q,则q
7、3=a4a1=18,q=12,数列an的前10项和为1-(12)101-12=2-129.2.CS8-S4S4=a5+a6+a7+a8a1+a2+a3+a4=q4,所以q=2.3.152由an+2+an+1=6an,得qn+1+qn=6qn-1,即q2+q-6=0,解得q=2或-3(舍去),又a2=1,所以a1=12,S4=12(1-24)1-2=152.4.解:公比为q=2a,当q=1,即a=12时,Sn=n;当q1,即a12时,则Sn=1-(2a)n1-2a.Sn=n,a=12,1-(2a)n1-2a,a12.重点难点探究探究一:【解析】当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;当q
8、1时,a1(1-q3)1-q=3a1q2,因为a10,所以1-q3=3q2(1-q),即1+q+q2=3q2,解得q=-12.综上所述,公比q的值为1或-12.【小结】对于等比数列来讲,必须要考虑q=1和 q1两种情况.探究二:【解析】(1)设等比数列an的公比为q,则an=a1qn-1,由已知得a1+a2=2(1a1+1a2)=2(a1+a2)a1a2,a1a2=2,由a1+a2=8(1a3+1a4)=8(a3+a4)a3a4=8q2(a1+a2)a3a4,a3a4=8q2,又a10,q0,a12q=2,a12q3=8,解得a1=1,q=2,an=2n-1.(2)由(1)知bn=an2+lo
9、g2an=4n-1+(n-1),Tn=(1+4+42+4n-1)+(0+1+2+3+n-1)=4n-14-1+n(n-1)2=4n-13+n(n-1)2.【小结】求和时要注意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用.探究三:【解析】(1)根据已知条件12S2+13S3=2,2S23S3=36,整理得3S2+2S3=12,3S22S3=36,解得3S2=2S3=6,即S2=2,S3=3.(2)q1,则a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=3,可解得q=-12,a1=4,Sn=41-(-12)n1+12=83-83(-12)n.【小结】要熟记等比数列的前n项和公式.思维拓展应用应用一:S
10、62S3,q1,a1(1-q3)1-q=72,a1(1-q6)1-q=632,由得1+q3=9,q=2,代入得a1=12,an=a1qn-1=2n-2.应用二:由题意可知,该数列的通项公式为an=n+12n,Sn=(1+12)+(2+14)+(n+12n)=(1+2+3+n)+(12+14+18+12n)=n(n+1)2+1-12n.应用三:(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+3d),解得a1=d或d=0(舍去),所以数列an的通项是an=nd.因为数列a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列,即数列d,3d,k1d,k2d,knd,成等比数列,所以公比q=3dd=3,k1d=32
11、d,即k1=9,所以数列kn是以k1=9为首项,3为公比的等比数列,故kn=93n-1=3n+1.(2)Sn=132+233+334+n3n+1,13Sn=133+234+335+n3n+2,由-,并整理得Sn=14(1-13n)-n23n+1=14-2n+343n+1.基础智能检测1.D由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,q=-2,则S5S2=a1(1+25)a1(1-22)=-11.2.C由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,得q2+q-6=0,q=2(负根舍去).a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22S3=84.3.S232设等比数列的公比为q,若S2计算正确,则有q=2,但此时S338,S465与题设不符,故算错的就是S2,此时,由S3=38可得q=32或q=-52;当q=32时,S4=65也正确;当q=-52时,S4不正确,舍去.所以q=32.4.解:由a4=a1q3=12q3=-4,可得q=-2,因此,数列|an|是首项为12,公比为2的等比数列,所以|a1|+|a2|+|an|=12(1-2n)1-2=2n-1-12.全新视角拓展C由已知得an+1an=-13,则数列an为公比是-13的等比数列,a2=-43,a1=4,则数列an前10项的和S10=41-(-13)101-(-13)=3(1-3-10).思维导图构建三个两个资
