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1、第2章预备基础知识 信号的频谱分析 信号能量和功率 卷积和相关 信号带宽 希尔伯特变换 本章主要内容 参考学时为2学时 掌握信号傅立叶变换 卷积 相关和带宽的 概念和分析方法 理解信号能量与功率的概念和关系 了解希尔伯特变换的方法和意义 本章要求 信号傅里叶变换 信号能量与能量谱密度 信号功率与功率谱密度 信号卷积积分与相关函数 信号带宽 希尔伯特变换 知识要点 2 2 信号的频谱频谱 分析 2 2 1 傅里叶级数 信号 展为傅里叶级数必须满足的条件 1 是周期为 的周期函数 2 在区间 上绝对可积 傅里叶级数的二种表示形式 1 傅里叶级数的三角级数表示形式 或 式中 2 傅立叶级数的复指数形
2、式 式中 把周期函数的频率 作为基本频率 用具 有整数倍频率的正弦波成份对 进行分解 因 此 的成份称为基波 的成份称为高次 谐波 的成份是直流成份 确定了周期性信号 的第 次谐波分量的 幅度 故由 与频率关系波形可得到信号 的 离散幅度频谱 信号 用傅里叶级数表示的意义 2 2 2 傅里叶变换 函数 存在傅里叶变换的条件 1 2 在 内分段光滑 即导数 只有第一类间断点 傅里叶变换 的傅里叶变换 的傅里叶反变换 记作 提供了信号在频率域和时间域之间的 相互变换关系 通常把 称为 的频 谱密度 简称频谱 傅里叶变换的意义 傅里叶变换的常用特性 平移特性 微分特性 对称特性 卷积特性 式中 积分
3、特性 2 2 3 常用信号的频谱 周期矩形脉冲信号的频谱 方法一 采用傅里叶级数表示 时域波形 图2 2 1周期矩形脉冲波形 0 T0T0 A t 傅里叶级数表达式 复指数形式 三角级数形式 讨论 1 当 时 所以 周期矩形脉冲信号的频谱图 图2 2 2 a 的周期矩形脉冲频谱 0 2 当 时 周期矩形脉冲信号的频谱图 图2 2 2 b 的周期矩形脉冲频谱 0 1 周期信号的频谱是离散的 2 若脉冲宽度较宽 相应的频谱宽度就较窄 若 脉冲宽度较窄 对应的频谱宽度就较宽 即时 域的压缩对应着频谱的展宽 说明提高传信是 以牺牲频带宽度为代价的 结论 方法二 对周期信号 的傅里叶级数 表达式取傅里叶
4、变换 周期信号 的傅里叶变换 周期矩形脉冲信号的傅里叶变换 2 2 28 结论 1 周期信号的傅里叶变换由发生在原信号基 波 频率整数倍 谐波 频率处的冲激所组成 2 由 2 2 28 式画出的 频谱与图 2 2 2 是一致的 门函数的频谱 时域表达式 2 2 29 傅里叶变换 时域波形和频谱图 A b 门函数的频谱 图2 2 3门函数及其频谱 0 t 0 a 门函数 1 非周期信号的频谱是连续的 2 门函数 的第一零点频带宽度为 Hz 因此脉冲宽度越窄 信号的频带宽 度越宽 结论 单位冲激函数的频谱 单位冲激函数的时域表达式 单位冲激函数的傅里叶变换 单位冲激函数的波形和频谱图 0 1 t
5、0 a 单位冲激函数 b 单位冲激函数的频谱 图2 2 4单位冲激函数及其频谱 结论 的能量均匀分布在整个频率域 周期冲激序列的频谱 时域表达式 傅里叶级数展开式 傅里叶变换 时域波形和频谱特性图 图2 2 5 周期冲激序列及其频谱 a 周期冲激序列 0 t 0 b 周期冲激序列频谱 结论 时域内的一个周期冲激序列 其傅里叶变换在 频率域内也是一个周期冲激序列 但冲激强度增加 倍 2 3 能量和功率 什么是能量信号 在所有时间上的能量不为零且有限 的信号称为能量信号 例如 非周期的确定信号是能量信号 平均功率 为零 什么是功率信号 具有功率不为零且有限 的信号称为 功率信号 例如 周期信号是功
6、率信号 随机信号也是能 量无限的功率信号 2 3 1 信号能量与能量谱密度 求能量信号 的总能量 时域表示 频域表示 称 为 的能量密度频谱函数 简称能量谱密度 它表示信号能量在频域 中的分布状况 如何求得 设 则有 上式称为非周期能量信号的帕什瓦尔能量定 理 也称能量等式 由此得到 与 的关系式 求功率信号 的功率 瞬时功率 在一个周期内的平均功率 简称功率 2 3 2 信号功率与功率谱密度 上式称为帕什瓦尔功率定理 它表明一个周期 信号的平均功率等于此信号所包含的各个谐波分量 幅度平方之和 求功率信号 的功率谱密度 周期信号的功率谱密度 是频率的离散函数 它表示了各频率分量的 相对功率大小
7、 利用冲激函数的抽样特性 信号平均功率还可表示成 非周期信号的功率谱密度的极限表达式 是非周期功率信号 的截短函数 的傅里叶变换 2 4 卷积积和相关 2 4 1 卷积积分 函数 与 的卷积定义 记作 卷积定理 时域卷积定理 设 则 表明 时域中两个信号的卷积等效于频域中它们 各自傅氏变换的乘积 频域卷积定理 表明 时域中两个信号相乘等效于频域中它们各自 傅氏变换的卷积 一个重要运算结果 可推广得到 2 3 2 相关函数 互相关函数 用来表征两个不同的信号波形在不同时刻的 相互关联或相似程度 非周期功率信号 和 的互相关函数 和 分别为 和 的截短函数 意义 如果对任何 值 有 则信号 和 是
8、不相关的 反之 相关函数值越大 说明这两个信号波形的关联性越大 周期性功率信号 和 的互相关函数 非周期能量信号 和 的互相关函数为 注意 和 的互相关函数 与 和 的互相关函数 一般是不相等的 自相关函数 非周期功率信号的自相关函数 周期性功率信号的自相关函数 非周期能量信号的自相关函数 自相关函数定义 自相关函数性质 1 当 时 对非周期的功率信号 有 对周期性的功率信号 有 结论 功率信号的自相关函数 等于该 信号的平均功率 对非周期的能量信号 有 结论 能量信号的自相关函数 等于该 信号的能量 2 即自相关函数在原点有最大值 3 即自相关函数 具有共轭 对称性 若 为实函数 则 是位移
9、 的偶函数 4 功率信号 的自相关函数 与功率谱密 度 是一对傅里叶变换对 能量信号 的自相关函数 与能量谱密度 是一对 傅立叶变换对 即 对非周期功率信号 上式称为维纳 辛钦定理 对周期性功率信号 对能量信号 上述式子表明 自相关函数只与信号的幅度谱有 关 而与信号的相位谱 无关 2 5 信号带宽带宽 有效范围围 以集中一定百分比的能量 功率 来定义带宽 常用的信号带宽定义方式 对能量信号 对于功率信号 这里百分比 可以取90 95 或99 等 半功率带宽 定义信号能量 功率 谱密度下降3dB对应的 频率间隔为其带宽 对峰值位于 处的信号 其带宽可定义为 或 0 5 1 0 图2 5 1信号
10、的半功率带宽 第一零点带宽 适合矩形脉冲信号 取其频谱主峰的宽度 作 为其带宽 即 A b 门函数的频谱 图2 2 3门函数及其频谱 0 t 0 a 门函数 等效矩形带宽 用一个矩形的频谱代替信号的频谱 两者最大 幅度相同 能量相等 定义式为 或 0 图2 5 2信号的等效矩形带宽 2 6 希尔伯特变换变换 希尔伯特变换定义 信号 的希尔伯特变换 的希尔伯特反变换 等效于 意义 信号 的希尔伯特变换相当于该信号通过 一个冲击响应为 的系统后得到的信号 而 通过冲击响应为 的系统后可得到 原信号 因为 b 希尔伯特滤波器的相位特性 0 1 0 a 希尔伯特滤波器的幅频特性 图2 6 1希尔伯特滤波器的传输特性 结论 一个信号经希尔伯特变换后 在频域上 正频率分量移相 负频率分量移相 因此 可将希尔伯待变换看成是一个理想带 宽的 相移全通网络 其传输函为 而冲击响应为 我们称具有这种持性的 网络为希尔伯特滤波器 希尔伯特变换主要性质 1 能量律 信号 与希尔伯特变换 具有相同的 能量密度谱或功率密度谱 亦即 2 自相关函数 信号 与希尔伯特变换 具有相同的 自相关函数 3 正交律 信号 与希尔伯特变换 互为正交 即 表2 1常见的希尔伯特变换对 常见的希尔伯特变换对 Ch2 E N DCh2 E N D
