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1、2014年高中数学 第一章 统计 知识解析数据的数字特征素材 北师大版必修3数据的数字特征-课文知识点解析要点提炼1.众数、中位数、平均数在教材所给问题中，甲组数据的中位数是（18+22）=20；众数是10、18、30；平均数是22.2.乙组数据的中位数是（27+31）=29；众数是23、24；平均数是28.6.我们再看下面的例子：假设我们通过抽样，获得了某城市100位居民2003年的月均用水量（单位：t）.3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.63.42.62.22. 21.51.20.20.40.30.43.22.72.32.11.61.23.71.50.53.83.3
2、2.82.32.21.71.33.61.70.64.13.22.92.422.31.81.43.51.90.84.33.02.92.42.41.91.31.41.80.72.02.52.82.32.31.81.31.31.60.92.32. 62.72.42.11.71.41.21.50.52.42.52.62.32.11.61.01.01.70.82.42.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2作出这些样本数据的频率直方图.图141从图141中可以看出月均用水量的众数是2.25 t（最高矩形的中点）.这组数据的中位数可经计算求得为2，那能否从频率分布直方图中估计中位数呢？我
3、们知道在这组数据中有50%的数小于或等于中位数，也有50%的数大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计中位数的值（如图142虚线处代表中位数的估计值）.由图142显示，大部分居民的月均用水量在中部，但也有少数居民的月均用水量特别高，因此，应该对这部分居民的用水量作出合理限制.图142居民月均用水量的平均数可由公式=（x1+x2+x100）求得=1.973.在频率分布直方图中，平均数是“重心”，也可以显示出来，如图143.图143平均数与每一个数据都有关，因此，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质.由图14
4、3可以看出，用水量最多的几个居民对平均数影响较大，因为他们的用水量与平均数相差太大了.作为刻画一组数据集中趋势的统计量，平均数、中位数、众数，它们各有各自代表的角度，各有优缺点，也各有各的用处.平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量.2.标准差有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙95787686 77如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？如果看两人本次射击的平均成绩，由于甲=7，乙=7，两人射击的平均成绩是一样的，那么，是否两个人的水平就没有什么差异呢？图144直观上看，还是有差异
5、的.例如，甲成绩比较分散，乙成绩相对集中（如图144所示）.因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过的极差.甲的环数极差=104=6，乙的环数极差=95=4.它们在一定程度上表明了该组数据的分散程度.显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们就可以理解“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.考察一组数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差是数据到平均数的平均距离，一般用S表示.假设一组数据是x1，x2，xn，表示这组数据的平均数.xi到的距离是|xi|（i=1，2，n）. 于是x1，x2，xn到的“平均距离”是S=.由于上式含有绝对值，运
6、算不太方便，因此，常改用如下公式来计算标准差.S=.一组数据中每个数与平均数之间的距离关系可用图155表示.图155显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小.用计算机电子表格软件（如Excel）或科学计算器可以求得S甲=2，S乙=1.095.由S甲S乙，可以知道，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估计，乙的射击成绩比甲的稳定.此外，上面两组数据的离散程度与标准差之间可用图146直观地表示出来.图146如果有n个数x1，x2，xn，那么它们的平均数为=（x1+x2+xn）.全析提示一组数据的众数、中位数、平均数既可以由计算得出，也可以在数据的频率直方图中显现出来.在图151中我们能更容易地理解它们的意义和作用.思维拓展中位数不受少数几个极端值的影响.思维拓展与中位数、众数比起来，平均数可以反映出更多的关于数据全体的信息.全析提示从不同的角度出发，对同一组数据所表达的信息也不同.教练员要分析两名运动员的优缺点，以便有针对性地训练；若是选拔性考核，就要看两名运动员谁的成绩更好一些.要点提炼计算数据x1，x2，xn的标准差的算法：（1）算出数据的平均数；（2）算出每个数据与平均数的差xi；（3）算出（2）中xi的平方；（4）算出（3）中n个平方数的平均数，即为方差；（5）算出（4）中平均数的算术平方根，即为标准差.资
