《高等数学微积分第部分第节数列的极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学微积分第部分第节数列的极限（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 极限与连续 第二章 极限与连续 p第一节 数列的极限 p第二节 函数的极限 p第三节 极限的基本性质 p第四节 极限的四则运算 p第五节 极限的存在性定理 p第六节 两个重要极限 p第七节 无穷小量与无穷大量 p第八节 函数的连续性 p第九节 闭区间上连续函数的性质 1 了解数列极限与函数极限 包括左极限 与右极限 的概念 2 理解无穷小的概念和基本性质 掌握无穷小的比较方法 了解无穷大的概念及其与无穷小的关系 3 了解极限的性质与极限存在的两个准则 掌握极限四则运算法则 会应用两个重要极限 4 理解函数连续性的概念 含左 右连续 5 了解连续函数的性质和初等函数的连续性 理解闭区间上
2、连续函数的性质 并会应用 会判别函数间断点的类型 本 章 基 本 要 求 本章难点 重点 难点 极限的精确性定义 重点 各种类型极限的计算 分段函数 分界点处连续性的讨论 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失 矣 1 割圆术 播放 刘徽 概念的引入 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2 截丈问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 一 数列对于 整标函数 函数值依自变量增大的顺序排列 的一组数 称为数列 记作 第一节 数列的极限 注 1 几何表示 2 单调性 3 有界性 与等价形式 4 等价定义 函数 单调增加 单调减少 二 数列极限 1 定义 设有数列和常
3、数如果 无限增大时 无限接近于常数 则称趋于无穷大时 数列 极限存在 极限值为 记作 当 注 1 本定义为描述性定义 2 数列极限存在也称数列收敛 否则称数列发散 当 1 当无限增大时 无限接近于 分析 2 当无限增大时 可以任意小 3 要使有多小 当大到一定程度时 就能有多小 对任意给定的正数 不论多么小 总存在一个正整数 当时 恒成立 即 播放 举例说明 问题 当 无限增大时 是否无限接近于某一 确定的数值 如果是 如何确定 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言 刻划它 通过上面演示实验的观察 2 定义 设有数列和常数如果 对任意给定的正数 不论多么小 总存在一个正整数 当时 恒成立
4、 则称当无限增大时 数列 极限存在 极限值为 记作 注 1 本定义为精确性定义 2 具有任意性 它是用来刻划 接近程度的 除受正数限制以外 不受其它限制 3 具有相应性 正整数 大的程度的 它随 的确定而确定 但并不是惟一确定的 为了强调这种 依赖性可用来表示 刻划是用来 4 几何表示 6 精确性定义的作用 a 验证极限 b 证明定理 5 任意存在 例1 验证 证 分析 对 要使 只需即可 故 对 当时 恒成立 所以 注 1 验证极限 目标 找 具体操作 从中找 2 将例题中改成 验证 分析 对要使 只需即可 对 当 恒成立 练习题 证 故 所以 时 三 数列极限的基本性质 惟一性 如果数列收
5、敛 则 其极限值惟一 证 反证法 设 对 恒成立 恒成立 定理定理2 12 1 与 同时成立 同时成立 从而产生矛盾 故命题成立 即同时成立 收敛数列的有界性 如果数列 收敛 则数列一定有界 证 设根据精确性定义知 对恒成立 取 则对一切有故命题成立 定理定理2 22 2 注 其它命题 极限不等式 设有数列 如果 从某一项开始 则 证 反证法 设对 同时成立 即 同时成立 定理定理2 32 3 亦即 同时成立 从而矛盾 所以 故命题成立 即同时成立 保号性 如果 并且 则存在正整数 有 证 故命题成立 定理定理2 42 4 子列 例如 注意 奇数子列 偶数子列 的子数列 或子列 的一个数列称为原数列 到中的先后次序 这样得这些项在原数列 保持中任意抽取无限多项并定义 在数列 n n n y y y 一般表示法一般表示法 定理2 5的任意 子列都收敛于 定理 的 奇数子列与偶数子列都收敛于 例 发散 解 利用函数的周期性 在 yn 中取两个子数列 例 关于精确性定义的题型总结 1 验证极限 目标 找 具体操作 从中找 2 证明定理证极限 利用极限证其它问题 对处理方法 取特殊值 目标 找 作业题 理解并记住定理 看懂证明
