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1、第四章 中值定理与导数应用 第四章 中值定理与导数应用 p第一节 中值定理 p第二节 未定式的定值法 罗必塔法则 p第三节 函数的增减性判别法 p第四节 函数的极值与最值 p第五节 曲线的凹凸性 拐点与渐近线 p第六节 函数图形的讨论 1 理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 掌握这两个定理的简单应用 2 会用洛必塔法则求极限 3 掌握函数单调性的判别方法及其应用 4 掌握函数极值 最大值和最小值的求法 会求解较简单的应用题 6 会描绘简单函数的图形 5 会用导数判断函数图形的凹凸性 会求函数图形的拐点及渐进线 本 章 基 本 要 求 本章重点 难点 重点 导数的应用 带 等式的证明 难点 带 等式
2、的证明 第一节 中值定理 罗尔中值定理 设函数满足下面条件 在闭区间 在开区间 在区间两个端点处的函数值 上连续 内可导 相等 即 则至少存在一点使得 定理定理4 14 1 证 因在上连续 故在上一定有最大值和最小值 则从而 所以对于内任一点都可取作 故命题成立 则在内至少存在一点 使得下证 故 几何意义 注 三个条件缺一不可 1 4 3 2 例1 验证函数在区间 上满足罗尔定理全部条件 并求 解 在闭区间 在开区间 在区间两个端点处的函数值相等 上连续 内可导 故至少存在一点使得 即故 题型一 验证罗尔定理成立 判断连续性 二 分段函数 分界点用定义判断 一 初等函数 判断可导性 1 导数的
3、性质 2 导函数有定义 二 分段函数 分界点用定义判断 一 初等函数 有定义区间上连续 例2证明方程 至多有一个实根 其中 为任意常数 证 假设方程至少有两个不同的实根 显然在上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得 设 即矛盾 故命题成立 题型二 判断方程的根 例3不求导数 判断函数 的导函数有几个实根 以及所在的范围 解在 满足罗尔定理条件 因此至少存在 使得 又为三次函数 则为二次函数 故 在和内各有一个实根 有且仅有两个实根 题型三 证明带 的等式 例4 设在在上连续 内可导 则在内至少存在一点使得 证 设 显然在上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得 即 故 例5 设在 在上连
4、续 内可导 且试证 在 存在一点使得 证 设 显然在上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点 使得即 内至少 故 拉格朗日中值定理 设函数满足下面条件 在闭区间 在开区间 上连续 内可导 则至少存在一点使得 证 设 显然在上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点使得 即 定理定理4 24 2 从而原式成立 几何意义 等价形式 定理形式 分析课本中辅助函数的令法 令 直线AB 曲线AB 思路 切线 直线AB 切线斜率 直线斜率 切线斜率 直线的切线斜率 故选 推论1 如果函数在区间内任一点 的导数都等于零 则函数 在内 是一个常数 证任取 在上满足拉格朗日定理条件 因此至少存在一点 使得 所以 故命题成
5、立 推论2 如果函数在区间 都相等 则 在内至多相差一个常数 内 任一点的导数与 证因 所以 即 由推论1知 故命题成立 题型一 验证拉格朗日定理成立 题型二 证明不等式 例5证明不等式 证时 不等式显然成立 时 在 上满足拉格朗日条件 因此至少存在一点 使得 故 例6试证 证 不妨设 在上满足拉格朗日定理 所以至少存在一个 使得 即 故 同理可证 题型三 证明带 的等式 例7 设在在上连续 内可导 则在内至少存在一点使得 证 设 显然满足拉格朗日定理条件 因此至少存在一点 使得从而原式成立 例8 试证明 证因 题型四 证常数 所以 且在上连续 则 令 得 题型一 验证拉格朗日定理成立 题型二
6、 证明不等式 题型四 证常数 题型三 证明带 的等式 题型一 验证罗尔定理成立 题型二 判断方程的根 题型三 证明带 的等式 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西中值定理 设函数满足下面条件 在闭区间 在开区间 上连续 内可导 当时 则至少存在一点使得 定理定理4 34 3 误证用拉格朗日定理 相除即可 证明 设 显然在上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点使得 即 亦 证明 设 显然在上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点使得 即 亦 证明 设 显然在上满足罗尔定理条件 因此至少存在一点使得 即 从而 辅助函数 题型二 证明带 的等式 题型一 验证柯西定理成立 题型三 双介值问题 例9 设在 上可导 且
7、 试证 在 内至少存在一点使得 证明 设 则在上满足柯西定理条件 因此至少存在一点 使得从而原式成立 双介值问题 例10 设在在上连续 内可导 试证 存在使得 且 证用拉格朗日定理 和用柯西定理 相除即可 双介值问题处理思路 1 将和分开 2 涉及一个函数导数用拉格朗日定理 涉及两个函数导数的商用柯西定理 3 拉 拉柯 柯柯 拉 题型二 证明带 的等式 题型一 验证柯西定理成立 题型三 双介值问题 题型一 验证拉格朗日定理成立 题型二 证明不等式 题型四 证常数 题型三 证明带 的等式 题型一 验证罗尔定理成立 题型二 判断方程的根 题型三 证明带 的等式 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 题型五 双介值问题 作业题 习题四 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
