《高等数学(微积分)教案§二重积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学(微积分)教案§二重积分（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 8 7二重积分 n一 二重积分的概念与性质 n二 二重积分的计算 n三 积分区域无界的广义二重积分 曲顶柱体 n引例1 曲顶柱体的体积 柱体体积柱体体积 底面积底面积 高 特点特点 平顶 平顶 柱体体积柱体体积 特点特点 曲顶 曲顶 分割 求和 取极限 思想的应用 n求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 播放 求曲顶柱体体积的具体步骤 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积 先分割曲顶柱体的底 并取典型小区域 曲顶柱体的体积 平面薄片的质量 n引例2 平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块 将薄片分割成若干小块 取典型小块 将其近似取典型小块 将其近似
2、 看作均匀薄片 看作均匀薄片 所有小块质量之和所有小块质量之和 近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量 二重积分的概念 n定义 设f x y 是有界闭区域D上的有界函数 将闭区 域D任意分成n个小闭区域 1 2 n 其中 i 表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取 一点 i i 作乘积 f i i i i 1 2 n 并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时趋于零时 这和的极限存在这和的极限存在 则称此极限为函数在闭则称此极限为函数在闭 区域上的二重积分 区域上的二重积分 记作记作 叫做被积函数叫做被积函数 叫做被积表达式叫做被积表达式 叫做
3、面积元素叫做面积元素 与叫做积分变量 叫做积分变量 叫做积分区域 叫做积分区域 叫做积分和 叫做积分和 关于二重积分定义的说明 n 1 在二重积分的定义中 对闭区域的划分是任意的 n 2 当在闭区域上连续时 定义中和式的极限必存在 即二重积分必存在 n 3 在直角坐标系中 若用平行于坐标轴的直线网划 分 则 n n 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体积 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时当被积函数小于零时 二重积分是柱体体积的负值 二重积分是柱体体积的负值 一般一般 D D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积上的二重积分等于部
4、分区域上的柱体体积 的代数和 的代数和 D D 二重积分的性质 1 5 n性质1 k k为常数 为常数 n n 性质性质2 2 n n 性质性质3 3 n n 性质性质4 4 若若 为为D D的面积的面积 则则 n n 性质性质5 5 若在若在D D上上则有则有 特别地特别地 二重积分的性质 6 7 n性质6 估值不等式 设M m分别是f x y 在闭 区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则 n性质7 二重积分中值定理 设函数f x y 在闭区 域D上连续 则在D上至少存在一点 使得 例题与讲解 n例 不做计算 估计 其中其中D D是椭圆闭区域是椭圆闭区域 n n 解解 直角坐标下计算二重积
5、分 n应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法 可以在直角坐标下计算二重积分 nX 型积分区域D X 型 其中函数 在区间 上连续 a a x x b b X 型积分区域上计算二重积分 n将二重积分的值看作以D为底 以z f x y 为曲面 的 曲顶柱体 体积 应用计算应用计算 平行截面平行截面 面积为已知的立体面积为已知的立体 求体积求体积 的方法的方法 垂直垂直 x x轴作平行截面 轴作平行截面 得 Y 型积分区域上计算二重积分 nY 型积分区域D Y 型 垂直垂直y y轴作平行截面轴作平行截面 其它类型的积分区域 nX型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于
6、两个交点 nY型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点 n若区域如图 则必须分割 在分割后的三个区域上分在分割后的三个区域上分 别使用积分公式别使用积分公式 例题与讲解 n例 改变积分的次序的次序 n n 解 解 积分区域如图积分区域如图 例题与讲解 n例 改变积分 的次序的次序 n n 解 解 积分区域如图积分区域如图 例题与讲解 n例 改变积分 的次序的次序 n n 解 解 原式 例题与讲解 n例 求积分 其中其中D D是由抛物线是由抛物线 y y x x 2 2 和和x x y y 2 2 围围围围成的成的闭闭闭闭区域 区域 n n 解 解 例题与讲解 n例
7、 求积分 其中其中D D是以是以 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 为顶点的三角形区域 为顶点的三角形区域 n n 解 解 例题与讲解 n例 计算积分 n n 解 解 例题与讲解 n例 求由下列曲面所围成的立体体积 n n 解解 曲面围成的立体如图 曲面围成的立体如图 一个三角形一个三角形 利用极坐标计算二重积分 极坐标下化二次积分 n若积分区域特征如下图 例题与讲解 n例 写出积分 在极坐标下二次积分形式 在极坐标下二次积分形式 其中积分区域其中积分区域 n n 解解 极坐标下化二次积分 2 n若积分区域特征如下图 极坐标下化二次积分 3 n若积分区域特征如下图 n n 极坐标
8、系下区域的面积极坐标系下区域的面积 例题与讲解 n例 计算 其中其中D D 是由中心在原点是由中心在原点 半径半径为为为为a a的的圆圆圆圆周所周所围围围围成的成的闭闭闭闭区域 区域 n n 解解 例题与讲解 泊松积分 n例 求广义积分 n n 解解 由上例结论以及对称性知由上例结论以及对称性知 例题与讲解 n例 计算其中其中 D D为由圆为由圆 及直线及直线 所围成所围成 的平面闭区域 的平面闭区域 n n 解解 例题与讲解 n例 计算 其中积分区域为其中积分区域为 n n 解解 小结 n二重积分在直角坐标下的计算公式 在积分中要正确选择积分次序 Y 型 X 型 n二重积分在极坐标下的计算公
9、式 练习 1 练习 2 练习 3 练习解答 练习解答 练习解答 练习解答 练习解答 练习解答 练习解答 练习解答 如图所示 练习解答 如图所示 练习解答 练习解答 练习解答 练习解答 练习解答 求 曲顶柱体 体积的演示 1 n求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求 曲顶柱体 体积的演示 2 n求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求 曲顶柱体 体积的演示 3 n求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求 曲顶柱体 体积的演示 4 n求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求 曲顶柱体 体积的演示 5 n求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求 曲顶柱体 体积的演示 6 n求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示
