单击此处编辑母版标 题样式 单击此处编辑母版副标题样式 1 第三章 行列式 3 1 3 1 线性方程组和行列式线性方程组和行列式 3 2 3 2 排列排列 3 3 3 3 n n阶行列式阶行列式 3 4 3 4 子式和代数余子式子式和代数余子式 行列式依行行列式依行 列列 展开展开 3 5 3 5 克拉默法则克拉默法则 课外学习6 行列式计算方法 课外学习7 q 行列式及其性质 能够作出数学发现的人 是具有感受数学中的秩序 能够作出数学发现的人 是具有感受数学中的秩序 和谐 对称 整齐和神秘美等能力的人 而且只限于和谐 对称 整齐和神秘美等能力的人 而且只限于 这种人 这种人 庞加莱庞加莱 Poincare Poincare 18541854 1921 1921 一个数学家 如果他不在某种程度上成为一个诗人 一个数学家 如果他不在某种程度上成为一个诗人 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家 外尔斯特拉斯 外尔斯特拉斯 WeierstrassWeierstrass 18151815 18971897 3 1 线性方程组和行列式 一 内容分布一 内容分布 3 1 1 二阶 三阶行列式的计算 对角线法则 3 1 2 行列式性方程组中的应用 二 教学目的二 教学目的 1 了解二阶 三阶行列式的定义 2 会利用对角线法则计算二阶 三阶行列式 三 重点难点三 重点难点 利用对角线法则计算二阶 三阶行列式 3 1 1 二阶 三阶行列式的计算 对角线法则 二阶行列式二阶行列式 我们用记号 表示代数和 称为二阶行列式 即 三阶行列式三阶行列式 我们用记号 表示代数和 称为三阶行列式 即 主对角线法 三元素乘积取 号 三元素乘积取 号 3 1 2 行列式性方程组中的应用 1 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组 1 它的系数作成的二阶行列式 那么方程组 1 有解 2 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组 2 他的系数作成的三阶行列式 那么方程组 2 有解 这里 我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式 然后利用这一工 具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组 例题选讲 解 由阶行列式的定义有 3 2 排列 一 内容分布一 内容分布 3 2 1 排列 反序与对换 3 2 2 奇 偶排列的定义及性质 二 教学目的二 教学目的 了解排列 反序 对换的定义 三 重点难点三 重点难点 求反序数 3 2 1 排列 反序与对换 例如 1234 2314都是四个数码的排列 定义定义1 1 n个数码 的一个排列指的是由这n个数码组 成的一个有序组 n n个数码的不同排列共有个数码的不同排列共有n n 个 个 例如 1 2 3这三个数码的全体不同的排列一共有3 6 个 它们是 123 132 231 213 312 321 定义定义2 2 在一个排列里 如果某一个较大的数码排在某一个 较小的数码前面 就说这两个数码构成一个反序 计算反序数的方法 计算反序数的方法 看有多少个数码排在1的前面 设为 个 那么就有 个数码与1构成反序 然后把1划去 再看 有多少个数码排在2的前面 设为 个 那么就有 个数 码与2构成反序 然后把2划去 计算有多少个数码在3前面 设为 个 如此继续下去 最后设在 n前面有 个 数码 显然 那么这个排列的反序数等于 例如 在排列451362里 所以这个排列有8个序 一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数 有偶数个 反序的排列叫做一个偶排列 有奇数个反序的排列叫做奇 排列 3 2 2 奇 偶排列的定义及性质 定义定义3 3 看n个数码的一个排列 如果把这个排列里 的任意两个数码i与j交换一下 而其余数码保持不 动 那么就得到一个新的排列 对于排列所施行的 这样一个变换叫做一个对换 并且用符号 i j 来表示 定理定理3 2 13 2 1 是n个数码的任意两个 排列 那么总可以通过一系列对换由 证明 我们已经知道 通过一系列对换可以由 我们只需证明 通过一系列对换可由 而通过一系列对换可以由 按照相反的次序施行这些对换 就可由 定理定理3 2 23 2 2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性 改变 其中A与B都代表若干个数码 施行对换 得 证明 我们首先看一个特殊的情形 就是被对 换的两个数码是相邻的 设给定的排列为 A B 我们比较这两个排列的反序数 显然经过这个对换 后 属于A或B的数码的位置没有改变 因此这些数 码所构成的反序数没有改变 同时i j与A或B中的 数码所构成的反序数也没有改变 若在给定的排 列中 那么经过对换 后 i与j就构成一个 反序 因面后一排列的反序比前一排列的反序数 增多一个 若在给定的排列中 那么经过对换 后 排列的反序数减少一个 不论是哪一种情形 排列的奇偶性都有改变 A B 现在来看一般的情形 假定i与j之间有s个数码 我 们用 来代表 这时给定的排列为 1 先让i向右移动 依次与 交换 这样 经过 s次相邻的两个数码的对换后 1 变为 再让j向左移动 依次与 交换 经过s 1次 相邻的两个数码的对换后 排列变为 2 但 2 正是对 1 施行 对换而得到的排列 因此 对 1 施行对换 相当于连续施行2s 1次相邻数码 的对换 由1 每经过一次相邻两数码的对换 排列都 改变奇偶性 由于2s 1是一个奇数 所以 1 与 2 的 奇偶性相反 定理3 2 3 在n个数码 n 1 的所有n 个排列 其 中奇偶排列各占一半 即各为 个 证明 设n个数码的奇排列共有p个 而偶排列 共有q个 对这p个奇排列施行同一个对换 那么由定理3 2 2 我们得到p 个偶排列 由于对这p 个偶排列各不相等 又可以得到原来的p个奇排列 所以这p个偶排列各不相等 但我们一共只有q个偶 排列 所以 同样可得 因此 例题选讲 3 3 n阶行列式 一 一 内容分布内容分布 3 3 1 n阶行列式的定义 3 3 2 行列式的性质 二 教学目的 二 教学目的 1 掌握和理解n阶行列式的定义 2 会利用定义计算一些特殊的行列式 3 掌握和理解行列式的性质 4 熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧 三 重点难点 三 重点难点 利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式 3 3 1 n阶行列式的定义 定义1 组成的记号 称为n阶行列式 其中 横排列称为行 纵排列称为列 任意取 个数 排成以下形式 1 考察位于 1 的不同的行与不同的列上的n个元素的 乘积 这种乘积可以写成下面的形式 2 是1 2 n这n个数码的一个 这里下标 排列 反过来 给了n个数码的任意一个排列 我们也 能得出这样的一个乘积 因此 一切位于 1 的不同的 行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n 个 我们用符号 表示排列 的反序数 定义2 用符号 表示的n阶行列式指的是n 项的代数和 这些项是一 切可能的取自 1 的不同的行与不同的列上的n个元 素的乘积 项 的符号为 也就是说 当 是偶排列时 这 一项的符号为正 当 是奇排列时 这一项的 符号为负 例1 我们看一个四阶行列式 根据定义 D是一个4 24项的代数和 然而在这个 行列式里 除了acfh adeh bdeg bcfg这四项外 其余的项都至少含有一个因子0 因而等于0 与上 面四项对应的排列依次是1234 1324 4321 4231 其 中第一个和第三个是偶排列 第二个和第四个是奇排 列 因此 转置 一个n阶行列式 如果把D的行变为列 就得到一个新的行列式 叫D的转转置行列式 引理3 3 1 从n阶行列式的 取出元素作乘积 3 这里 都是1 2 n 这n个数码的排列 那么这一项在行列式中的符号是 证 如果交换乘积 3 中某两个因子的位置 那么 3 的元素 的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换 假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为 那么由定理3 2 2 都是奇数 因为两 个奇数的和是一个偶数 所以 是一个偶数 因此 同时是偶数或同时是奇数 从而 另一方面 由定理3 2 1 排列 总可以经过 若干次对换变为 因此 经过若干次交换 因子的次序 乘积 3 可以变为 4 这里 是n个数码的一个排列 根据行列式 的定义 乘积 4 因而乘积 3 的符号是 然而 由上面的讨论 可知 引理被证明 3 3 2 行列式的性质 项 这一项的元素位于D的不同的行和不同的列 所以位于D的转置行列式 行 因而也是 D里和在 的两项显然也是 项的代数和 即 现在设 是n阶行列式D的任意一 的不同的列和不同的 的一项 由引理3 3 1 这一项在 里的符号都是 并且D中不同 中不同的两项 因为D与 的 项数都是n 所以D与 是带有相同符号的相同 于是有 命题3 3 2 行列式与它的转置行列式相等 即 命题3 3 3 交换一个行列式的两行 或两列 行列式改变符号 证 设给定行列式 交换D的第i行与第j行 得 旁边的i和j表示行的 序数 D的每一项可以写成 5 因为这一项的元素位于 的不同的行与不同的列 所以它也 是 的一项 反过来 的每一项也是D的一项 并且D的不 同项对应着 的不同项 因此D与 含有相同的项 交换行列式两列的情形 可以利用命题3 3 2归结到交 换两行的情形 式的第i行变成第j行 第j行变成第i行 而列的次序并没有改 变 所以由引理3 3 1 并注意到 是一奇数 因此 5 在D的在 中的符号相反 所以D与 的符号相 反 然而在D1中 原行列 5 在D中的符号是 5 在 中的符号是 由命题3 3 2推知 凡是行列式的对于行成立的性 质对于列也成立 反过来也是如此 推论3 3 4 如果一个行列式有两行 列 完全相 同 那么这个行列式等于零 证 设行列式D的第i行与第j行 i j 相同 由命题 3 3 3 交换这两行后 行列式改变符号 所以 新的行列式等于 D 但另一方面 交换相同的 两行 行列式并没有改变由此得D D或2D 0 所以D 0 命题3 3 5 用数k乘行列式的某一行 列 等于以 数k 乘此行列式 即如果设 则 证 设把行列式D的第i行的元素 乘以 k 而得到的行列式 那么 的第i行的元素是 D的每一项可以写作 6 中对应的项可以写作 7 6 在D中的符号与 7 在 中的符号都是 因此 推论3 3 6 如果行列式的某一行 列 的所有元素 的公因子可以提到行列式符号的外边 推论3 3 7 如果行列式的某一行 列 的元素全 部是零 那么这个行列式等于零 推论3 3 8 如果行列式有两行 列 的对应元素成 比例 则行列式的值等于零 证 设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例 那么这两行的对应元素只差一个因子k 即 因此 由推论3 3 6 可以把公因子 k提到行列式符号的外 边 于是得到一个有两行完全相同的行列式 由推 论3 3 4 这个行列式等于零 命题3 3 9 如果将行列式中的某一行 列 的每 一个元素都写成两个数的和 则此行列式可以写 成 两个行列式的和 这两个行列式分别以这两个 数为所在行 列 对应位置的元素 其它位置的元 素与原行列式相同 即如果 则 证 D的每一项可以写成 式 它的符号是 的形 去掉括弧 得 但一切项 附以原有符号后的和等于 行列式 一切项 附以原有符号后的和等于行 列式 因此 推论 如果将行列式的某一行 列 的每个元素都 写成m 个数 m 为大于2的整数 的和 则此行 列式可以写成m 个行列式的和 命题3 3 10 将行列式的某一行 列 的所有元素 同乘以数k 后加于另一行 列 对应位置的元素 上 行列式的值不变 证 设给定行列式 把D的第j行的元素乘以同一个数k后 加到第i行的对 应元素上 我们得到行列式 由命题3 3 9 此处 的第i行与第j列成 比例 所以 由推论3 3 8 例2 计算行列式 解 根据例题3 3 10 从D的第二列和第三列的元素 减去第一列的对应元素 即把D的第一列的元素同乘 以 后 加到第二列和第三列的对应元素上 得 这个行列式有两列成比例 所以根据推论3 3 8 D 0 例3。