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1、书 山 有 路 勤 为 径 学 海 无 崖 苦 作 舟 少 小 不 学 习 老 来 徒 伤 悲 成功 艰苦的劳动 正确的方法 少谈空话 习题课习题课 不等式定理及其重要变形 定理 重要不等式 推论 基本不等式 又叫均值不等式 二 公式的拓展 当且仅当a b时 成立 例1 三 公式的应用 一 证明不等式 以下各式中的字母都表示正数 四 公式的应用 二 求函数的最值 2 已知 是正数 定值 求 的最小值 已知 是正数 定值 求 的最大值 1 一正二 定三相 等 和定积最大 积定和最小 已知x 1 求 x 的最小值以及取得最小值时x的值 解 x 1 x 1 0 x x 1 1 2 1 3 当且仅当x
2、 1 时取 号 于是x 2或者x 0 舍去 答 最小值是3 取得最小值时x的值为2 例2 构造积为定值 通过加减项的方法配凑 成基本不等式的形式 例3 已知 0 x 求函数y x 1 3x 的最大值 利用二次函数求某一区间的最值 分析一 原函数式可化为 y 3x2 x 分析二 挖掘隐含条件 即x 时 ymax 3x 1 3x 1为定值 且0 x 则1 3x 0 0 x 1 3x 0 y x 1 3x 3x 1 3x 当且仅当 3x 1 3x 可用均值不等式法 配凑成和成定 值 例4 已知正数x y满足2x y 1 求的最小值 即 的最小值为 过程中两次运用了 均值不等式中取 号过渡 而这两次取
3、 号的条件是不同的 故结果错 错因 解 例4 已知正数x y满足2x y 1 求的最小值 正解 当且仅当 即 时取 号 即此时 1 代换法 特别警示 用均值不等式求最值时 要注意检验最值存在的 条件 特别地 如果多次运用均值不等式求 最值 则要考虑多次 或者 中取 成立的诸条件是否相容 五 公式应用 三 解决实际问题 例4 数学与日常生活 某工厂要建造一个长方体 无盖贮水池 其容积为4800 m3 深为3 m 如果池 底每1 m2的造价为150元 池壁每1 m2的造价为120 元 问怎样设计水池才能使总造价最低 最低总造 价是多少元 分析 此题首先需要由实际问题向数学问题转化 即建立函数关系式
4、 然后求函数的最值 其中用到 了均值不等式定理 v因此 当水池的底面是边长为40 m的正方 形时 水池的总造价最低 最低总造价是 297600元 实际问题 抽象概括 引入变量 数学模型 数学模型的解实际问题的解 还原 说明 推 理 演 算 建立目标函数 均值不等式 2 解应用题思路 反思研究 各项或各因式为正 和或积为定值 各项或各因式能取得相等的值 必要时作适当变形 以满足上述前提 即 一正二定三相等 二元均值不等式具有将 和式 转化为 积式 和将 积式 转 化为 和式 的放缩功能 创设应用均值不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧 而拆与凑的成因在于使等号能够成立 应用均值不等式须注意以下三点 3 均值不等式在实际生活中应用时 也应注意取值范围和能取到 等号的前提条件
