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1、1 7 定积分的简单应用 1 7 1 定积分在几何中的应用 课标要求 1 会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积 2 在解决问题的过程中 通过数形结合的思想方法 加深对定 积分的几何意义的理解 核心扫描 由多条曲线围成的分割型图形的面积的求解是考查的重点 2 如图2 阴影部分的面积为 所以 曲边梯形的面积等于 的定积分 形上 下两个边界所表示的函数的差 曲边梯 想一想 当f x 0时 f x 与x轴所围图形的面积怎样表示 提示 如图 因为曲边梯形上边界函数为g x 0 下边界函数 为f x 所以S 0 f x dx f x dx 名师点睛 利用定积分求曲边图形面积的步骤 一般来说 利用
2、定积分求曲边图形面积的基本步骤如下 第一步 画出图形 第二步 确定图形范围 通过解方程组求出交点横坐标 确定 积分上 下限 第三步 确定被积函数 特别要注意分清被积函数的上 下位 置 第四步 写出平面图形面积的积分表达式 第五步 运用微积分基本定理计算定积分 求出平面图形的面 积 注意 由于定积分是一种和式的极限 它可以为正 也可以为0 还可以为负 但平面图形的面积一般来说总是为正的 因此 当 定积分为负值时 一定要通过取绝对值处理为正 题型一 不分割型图形面积的求解 例1 求由抛物线y x2 4与直线y x 2所围成图形的面积 不分割型图形面积的求解步骤 1 准确求出曲线的交点横坐标 2 在
3、坐标系中画出由曲线围成的平面区域 3 根据图形写出能表示平面区域面积的定积分 4 计算得所求面积 法二 若选积分变量为y 则三个函数分别为 x y2 x 2 y x 3y 因为它们的交点分别为 1 1 0 0 3 1 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形 在 不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时 可通过解方 程组求出曲线的不同的交点坐标 可以将积分区间进行细化区间 段 然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和 在每个区 段上被积函数均是由上减下 若积分变量选取x运算较为复杂 可 以选y为积分变量 同时更改积分的上下限 得交点横坐标为x 0及x 1 因此 所求图形的面积为 题型三
4、 定积分的综合应用 例3 设y f x 是二次函数 方程f x 0有两个相等的实根 且 f x 2x 2 1 求y f x 的表达式 2 求y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积 2 画函数y f x 的图象如图 由图象知所求面积为 题后反思 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面 积是一种基本的运算技能 在这种题型中往往与导数 函数的最 值 不等式等相关知识进行融合 切点为 1 1 切线方程为y 2x 1 方法技巧 化归与转化在求定积分中的应用 在应用定积分时 定积分的计算是其中的重点也是难点 为计算定积分 要细心观察 有时某个定积分整体表示某些易求 面积的图形的面积 求定积分的值就可转化为求图形的面积 当有些被积函数的原函数不易求得时 可考虑换元 转换为 易求 原函数的被积函数 这时积 分变量也要改变 单击此处进入 活页规范训练
