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1、此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2020届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学（一）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，集
2、合，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】由，所以2复数（为虚数单位），则等于（ ）A3BC2D【答案】D【解析】，所以，3已知，若，则等于（ ）A3B4C5D6【答案】C【解析】由题可知，因为，所以有，得4设，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】，5执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）AB4CD【答案】A【解析】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，退出循环，输出结果为6连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】四个顶点形成的四边形的面积，四个焦点连线形成的四边形的面积，所以，当取得最
3、大值时有，离心率7在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（ ）A8B9C10D11【答案】D【解析】由题意，本题符合几何概型，区间长度为6，使得成立的的范围为，区间长度为2，使得成立的概率为，又，令，则有，故的最小值为118已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由于为上的减函数，则有，可得，所以当最小时，函数恰有两个零点等价于方程有两个实根，等价于函数与的图像有两个交点画出函数的简图如下，而函数恒过定点，数形结合可得的取值范围为9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD【答案】
4、B【解析】由三视图可知其是由半个球及半个倒立的圆柱拼接而成，其中球的半径为1，其体积为，半圆柱的体积为，所以总体积10函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由于，函数最高点与最低点的高度差为，所以函数的半个周期，所以，又，则有，可得，所以，将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，所以的最小值为111等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，现将沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设E为BD中点，连接AE、C
5、E，由题可知，所以，过A作于点O，连接DO，则，所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即点O与点C重合，此时有，过C作与点F，又，所以，所以，从而角即为直线AC与平面ABD所成角的平面角，12已知函数若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】，令，得，其单调性及极值情况如下：x0+0_0+极大值极小值若存在，使得，则（如图1）或（如图2）（图1）（图2）于是可得二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13展开式中的系数的和大于8而小于32，则 【答案】4【解析】，14已知数列的各项均为正数，满足，若是等比数列，数列的通项公
6、式 【答案】【解析】因为，所以，因为是等比数列，所以数列的公比为2又，所以当时，有这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以15实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为 【答案】【解析】先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，此时直线为，作出直线，交于A点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点，由，得，代入，得，所以点C的坐标为等价于点与原点连线的斜率，所以当点为点C时，取得最小值，最小值为16已知是抛物线上一点，是圆关于直线对称的曲线上任意一点，则的最小值为 【答案】【解析】假设圆心关于直线对称的点为，则有，解方程组可得
7、，所以曲线的方程为，圆心为，设，则，又，所以，即，所以三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且（1）求角A的值；（2）若，设角，周长为y，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知可得，结合正弦定理可得，又，（2）由，及正弦定理得，故，即，由，得，当，即时，18（12分）如图，已知三棱柱中，是全等的等边三角形，（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取BC的中点O，连接，由于是等边三角形，所以有，且，所以，所以（2）设，是全等的等边三角形，所
8、以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，又平面的一个法向量为，所以二面角的余弦值为19（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付4050不使用移动支付40合计100（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过010的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随
9、机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望（参考公式：（其中）【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过010的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，【解析】（1）根据题意及列联表可得完整的列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付401050不使用移动支付104050合计5050100根据公式可得，所以在犯错误的概率不超过010的前提下，认为支付方式与年龄有关（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为，则的可能为1，2，3，且，其分布
10、列为12320（12分）已知椭圆()的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为，求的值【解析】（1）；（2）【解析】（1）由离心率为，可得，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为，因与直线相切，则有，即，故而椭圆方程为（2）当直线l的斜率不存在时，由于；当直线l的斜率为0时，则；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，由及，得，有，综上所述：21（12分）已知函数（1）若曲线在处的切线为，试求实数，的值；（2）当时，若有两个极值点，且，若不等式恒成立，试求实数m
11、的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可知，联立可得（2）当时，有两个极值点，且，是方程的两个正根，不等式恒成立，即恒成立，由，得，令，在上是减函数，故请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】过点作倾斜角为的直线与曲线相交于M、N两点（1）写出曲线C的一般方程；（2）求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由曲线C的参数方程，可得，即曲线C的一般方程为（2）直线MN的参数方程为（t为参数），将直线MN的参数方程代入曲线，得，整理得，设M，N对应的对数分别为，则，当时，取得最小值为23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）解不等式；（2）若函数存在零点，求的求值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）有题不等式可化为，当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，解得，不满足，舍去；当时，原不等式可化为，解得，所以不等式的解集为（2）因为，所以若函数存在零点则可转化为函数与的图像存在交点，数形结合可知9
