数学高二同步系列课堂讲义北师大选修4-4课件：第二章参数方程2.4

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1、 1 4 平摆线和渐开线 2 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 3 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页一二一平摆线 1 平摆线旋轮线一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线或旋轮线如图 2 平摆线旋轮线的参数方程半径为r的圆在x轴上滚动起点为原点O 它的平摆线的参数方程为 4 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANG

2、TANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页一二 3 平摆线的性质当圆滚动半周时过定点M的半径转过的角度是点M到达最高点 r 2r 再滚动半周点M到达 2 r 0 这时圆周和x轴又相切于点 M 得到平摆线的一拱圆滚动一周时平摆线出现一个周期平摆线上点的纵坐标最大值是2r 最小值是0 即平摆线的拱高为 2r 5 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页一二名师点拨1 摆线的特征圆的摆线每一拱的宽度等于圆的周长拱高等于圆的直径摆线在它与定直线的两个相邻交点

3、之间的部分叫作一个拱 2 圆的平摆线的参数方程中参数的几何意义根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程可以知道其中的字母r是指圆的半径参数是过圆周上点M的半径与过圆与x轴切点的半径的夹角参数的几何意义可以在解决问题中加以引用简化运算过程当然这个几何意义还不是很明显直接使用还要注意其取值的具体情况 6 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页一二答案 C 7 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解

4、惑首页一二二渐开线 1 渐开线基圆把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上将铅笔系在绳的外端把绳拉紧逐渐地展开要求绳的拉直部分和圆保持相切此时铅笔尖所画出的曲线称为此圆的渐开线此圆称为渐开线的基圆如图所示 8 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页一二 2 渐开线的参数方程半径为r的圆的渐开线的参数方程是名师点拨1 圆的渐开线的特征 1 圆的渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹 2 发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度 3 基圆大小不等的渐

5、开线形状不同一般基圆越大它的渐开线越趋平直 4 基圆以内无渐开线 9 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页一二 2 圆的渐开线的参数方程中参数的几何意义根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半径而参数是指绳子外端运动时半径OB相对于Ox转过的角度如图所示其中的 AOB即是角显然点P由参数唯一确定在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义把点的坐标转化为与三角函数有关的问题使求解过程更加简单 10 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE

6、新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页一二做一做2 半径为1的圆的渐开线的参数方程为答案 C 11 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页一二思考辨析判断下列说法是否正确正确的在后面的括号内打错误的打 1 只有圆才有渐开线 2 渐开线和摆线的定义是一样的只是绘图的方法不一样所以才能得到不同的图形 3 对于同一个圆如果建立的直角坐标系的位置不同那么画出的渐开线形状就不同 4 在求圆的平摆线和渐开线方程时如果建立的坐标系原点和坐

7、标轴选取不同那么可能会得到不同的参数方程 12 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析求平摆线的参数方程例1 已知一个圆的平摆线过一定点 2 0 请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程分析根据圆的平摆线的参数方程 0 即得cos 1 所以 2k k Z 代入x r sin 得x r 2k sin 2k 又因为x 2 所以r 2k sin 2k 2 14 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIE

8、HUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析反思领悟1 圆的平摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹 2 在圆的平摆线中圆周上定点M的位置也可以由圆心角唯一确定 15 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练1 已知一个圆的平摆线过一定点 1 0 请写出该摆线的参数方程 16 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究

9、三思维辨析求渐开线的参数方程例2 有一标准的渐开线齿轮齿轮的齿廓线的基圆直径为32 mm 求齿廓线的渐开线的参数方程解因为基圆的直径为32 mm 所以基圆的半径为16 mm 因此齿廓线的渐开线的参数方程为 17 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析反思领悟解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤 1 建立合适的坐标系设轨迹曲线上的动点为M x y 2 取定运

10、动中产生的某一角度为参数 3 用三角几何知识写出相关向量的坐标表达式 4 用向量运算得到M x y 的坐标表达式由此得到轨迹曲线的参数方程 18 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练2 已知圆的直径为2 其渐开线上两点A B对应的标准形式的参数方程中的参数分别是求A B两点的坐标 19 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析平摆线渐

11、开线参数方程的应用例3 导学号64470043设圆的半径为8 沿x轴正向滚动开始时圆与x轴相切于原点O 记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置写出圆滚动一周时M点的轨迹方程画出相应曲线求此曲线上点的纵坐标y的最大值说明该曲线的对称轴分析本题考查摆线的参数方程的求法及应用解答本题需要先分析题意弄清M点的轨迹的形状然后借助图像求得最值解根据题意得轨迹曲线的参数方程为当t 即x 8 时 y有最大值16 曲线的对称轴为直线x 8 20 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页

12、探究一探究二探究三思维辨析反思领悟摆线的参数方程是三角函数的形式可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方 21 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练3 设摆线 t为参数 0 t 2 与直线y 1相交于A B两点求A B两点间的距离 22 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析因不理解平摆线的定义而致误典例圆的半径为r 沿x轴正向滚动

13、圆与x轴相切于原点O 圆上点 M起始处沿顺时针已偏转角试求点M的轨迹方程错解以原点为圆心互相垂直的两条直径分别为x轴和y轴建立直角坐标系设M x y 则有x rcos y rsin 所以x2 y2 r2 23 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析纠错心得1 渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹 2 渐开线上任一点M的坐标由圆心角以弧度为单位唯一确定而在圆的摆线中圆

14、周上定点M的位置也可以由圆心角唯一确定 24 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页探究一探究二探究三思维辨析变式训练如果半径为3的圆的平摆线上某点对应的参数那么该点的坐标为 25 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 1 2 3 4 1 平摆线 0 t 2 与直线y 2的交点的直角坐标是 A 2 2 B 3 2 2 C 2 2 或 3 2 2 D 3 5 答案 C 26 4 平摆线和渐开线XINZH

15、IDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 1 2 3 4 27 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 1 2 3 4 3 已知半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0 则其横坐标为解析 r 3 平摆线的参数方程为为参数令y 0 得cos 1 2k k Z sin 0 x 3 3sin 6k k Z 答案 6k k Z 28 4 平摆线和渐开线XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑首页 1 2 3 4 4 已知圆的方程为x2 y2 4 点P为其渐开线上一点对应的参数则点P的坐标为答案 2

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