《数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用实用课件：第一章 导数及其应用1.1.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用实用课件：第一章 导数及其应用1.1.3（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1 3 导数的几何意义 第一章 1 1 变化率与导数 学习目标 1 了解导函数的概念 理解导数的几何意义 2 会求简单函数的导函数 3 根据导数的几何意义 会求曲线上某点处的切线方程 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 导数的几何意义 如图 Pn的坐标为 xn f xn n 1 2 3 4 P的坐标为 x0 y0 直线PT为 在点P处的切线 思考1 割线PPn的斜率kn是多少 思考2 当点Pn无限趋近于点P时 割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有 什么关系 答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k 梳理 1 切线的定义 设PPn是曲线y f x 的割线 当点Pn趋近
2、于点P 时 割线PPn趋近于确定的位置 这个确定位置的直线PT称为曲线y f x 的切线 2 导数f x0 的几何意义 导数f x0 表示曲线y f x 在点 处 的切线的斜率k 即k 3 切线方程 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 在点P处 x0 f x0 f x0 y f x0 f x0 x x0 思考 已知函数f x x2 分别计算f 1 与f x 它们有什么不同 知识点二 导函数 f 1 是一个值 而f x 是一个函数 梳理 对于函数y f x 当x x0时 f x0 是一个确定的数 则当x变化 时 f x 便是一个关于x的函数 我们称它为函数y f x 的导函数
3、简称 导数 即f x y 特别提醒 区别联系 f x0 f x0 是具体的值 是数值 在x x0处的导数f x0 是导函 数f x 在x x0处的函数值 因此求函数在某一点处的导 数 一般先求导函数 再计 算导函数在这一点的函数值f x f x 是函数f x 在某区间I上每 一点都存在导数而定义的一个 新函数 是函数 1 函数在一点处的导数f x0 是一个常数 2 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导函数f x 在点x x0处的函数值 3 直线与曲线相切 则直线与已知曲线只有一个公共点 思考辨析 判断正误 题型探究 类型一 求切线方程 解答 解 将x 2代入曲线C的方程得y 4 切
4、点P 2 4 k 4 曲线在点P 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤 跟踪训练1 曲线y x2 1在点P 2 5 处的切线与y轴交点的纵坐标是 答案 3 解析 k 4 曲线y x2 1在点 2 5 处的切线方程为y 5 4 x 2 即y 4x 3 切线与y轴交点的纵坐标是 3 解答 命题角度2 曲线过某点的切线方程 例2 求过点 1 0 与曲线y x2 x 1相切的直线方程 解 设切点为 x0 x0 1 解得x0 0或x0 2 当x0 0时 切线斜率k 1 过 1 0 的切线方程为y 0 x 1 即x y 1 0 当x0 2
5、时 切线斜率k 3 过 1 0 的切线方程为y 0 3 x 1 即3x y 3 0 故所求切线方程为x y 1 0或3x y 3 0 反思与感悟 过点 x1 y1 的曲线y f x 的切线方程的求法步骤 1 设切点 x0 f x0 3 解方程得k f x0 x0 y0 从而写出切线方程 跟踪训练2 求函数y f x x3 3x2 x的图象上过原点的切线方程 解答 y f x0 x f x0 故所求切线方程为x y 0或5x 4y 0 类型二 利用图象理解导数的几何意义 例3 已知函数f x 的图象如图所示 则下列不等关系中正确的是 A 0 f 2 f 3 f 3 f 2 B 0 f 2 f 3
6、 f 2 f 3 C 0 f 3 f 3 f 2 f 2 D 0 f 3 f 2 f 2 f 3 解析答案 f 2 为函数f x 的图象在点B 2 f 2 处的切线的斜率 f 3 为函数f x 的图象在点A 3 f 3 处的切线的斜率 根据图象可知0 f 3 f 3 f 2 0 B f x0 f xB B f xA f xB C f xA f xB D 不能确定 解析 由导数的几何意义 知f xA f xB 分别是切线在点A B处切 线的斜率 由图象可知f xA f xB 12345 解析答案 答案解析 4 已知曲线y f x 2x2 a在点P处的切线方程为8x y 15 0 则实数a 的值为
7、 12345 7 由导数的几何意义可得 x0 2 P 2 8 a 将x 2 y 8 a 代入8x y 15 0 得a 7 5 已知曲线f x x3在点 a a3 a 0 处的切线与x轴 直线x a围成的三角 形的面积为 则a 答案解析 1 曲线f x x3在点 a a3 处的切线斜率为f a 3a2 切线方程为y a3 3a2 x a 即y 3a2x 2a3 12345 1 导数f x0 的几何意义是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 即k 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速 度 2 函数f x 在点x0处的导数 是一个数值 不是变数 导函数 是一个 函数 二者有本质的区别 但又有密切关系 f x0 是其导数y f x 在x x0处的一个函数值 3 利用导数求曲线的切线方程 要注意已知点是否在曲线上 如果已知点在曲 线上 则以该点为切点的切线方程为y f x0 f x0 x x0 若已知点不在 切线上 则设出切点坐标 x0 f x0 表示出切线方程 然后求出切点 规律与方法
