《数学新导学笔记人教A全国通用选修2-3实用课件：第三章 统计案例 §3.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新导学笔记人教A全国通用选修2-3实用课件：第三章 统计案例 §3.1（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 3 1 回归分析的基本思想及其初步应用 第三章 统计案例 学习目标 1 了解随机误差 残差 残差图的概念 2 会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果 3 掌握建立线性回归模型的步骤 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 思考 某电脑公司有5名产品推销员 其工作年限与年推销金额数据如 下表 知识点一 线性回归模型 推销员编号12345 工作年限x 年35679 推销金额y 万元23345 请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系 y关于x的线性回 归方程是什么 答案 画出散点图 由图可知 样本点散布在一条直线附近 因此可 用回归直线表示变量之间的相关关系 梳理 1 函数关
2、系是一种 关系 而相关关系是一种 关系 2 回归分析是对具有 关系的两个变量进行统计分析的一种常用 方法 确定性非确定性 相关 4 线性回归模型y bx a e 其中a和b是模型的未知参数 e称为 自变量x称为 因变量y称为 随机 解释变量误差预报变量 知识点二 线性回归分析 答案 不一定 答案 越小越好 2 残差图法 残差点 落在水平的带状区域中 说明选用的模型比较合 适 这样的带状区域的宽度 说明模型拟合精度越高 回归方程 的预报精度越高 比较均匀地 越窄 R2越接近于1 知识点三 建立回归模型的基本步骤 1 确定研究对象 明确哪个变量是解释变量 哪个变量是预报变量 2 画出解释变量和预报
3、变量的散点图 观察它们之间的关系 如是否存 在线性关系等 3 由经验确定回归方程的类型 如观察到数据呈线性关系 则选用线性 回归方程 4 按一定规则 如最小二乘法 估计回归方程中的参数 5 得出结果后分析残差图是否有异常 如个别数据对应残差过大 残差 呈现不随机的规律性等 若存在异常 则检查数据是否有误 或模型 是否合适等 1 求线性回归方程前可以不进行相关性检验 2 在残差图中 纵坐标为残差 横坐标可以选为样本编号 3 利用线性回归方程求出的值是准确值 思考辨析 判断正误 题型探究 例1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析 得 下表数据 类型一 求线性回归方程 解答 x68
4、1012 y2356 1 请画出上表数据的散点图 解 如图 解答 3 试根据求出的线性回归方程 预测记忆力为9的同学的判断力 预测记忆力为9的同学的判断力约为4 解答 反思与感悟 1 求线性回归方程的基本步骤 列出散点图 从直观上分析数据间是否存在线性相关关系 写出线性回归方程并对实际问题作出估计 2 需特别注意的是 只有在散点图大致呈线性时 求出的回归方程 才有实际意义 否则求出的回归方程毫无意义 跟踪训练1 假设关于某设备的使用年限x 年 和所支出的维修费用y 万元 有如下的统计数据 解答 x23456 y2 23 85 56 57 0 由此资料可知y对x呈线性相关关系 1 求线性回归方程
5、 解 由上表中的数据可得 2 求使用年限为10年时 该设备的维修费用为多少 解答 即使用年限为10年时 该设备的维修费用约为12 38万元 命题角度1 线性回归分析 类型二 回归分析 解答 求出y对x的线性回归方程 并说明拟合效果的程度 例2 在一段时间内 某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为 x1416182022 y1210753 列出残差表 所以回归模型的拟合效果很好 反思与感悟 1 该类题属于线性回归问题 解答此类题应先通过散 点图来分析两变量间的关系是否线性相关 然后再利用求回归方程 的公式求解回归方程 并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型 的拟合效果 在此基础上 借助
6、线性回归方程对实际问题进行分析 2 刻画回归效果的三种方法 残差图法 残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的 模型比较合适 跟踪训练2 关于x与y有如下数据 解答 x24568 y3040605070 1 的拟合效果好于 2 的拟合效果 例3 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费x 单位 千元 对年销售量y 单位 t 和年利润z 单位 千元 的影响 对近8年 的年宣传费xi和年销售量yi i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面 的散点图及一些统计量的值 命题角度2 非线性回归分析 解答 1 根据散点图判断 y a bx与y c d 哪一个适宜作为年销售量 y关于
7、年宣传费x的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 解 由散点图可以判断 y c d 适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型 2 根据 1 的判断结果及表中数据 建立y关于x的回归方程 解答 3 已知这种产品的年利润z与x y的关系为z 0 2y x 根据 2 的结果回 答下列问题 年宣传费x 49时 年销售量及年利润的预报值是多少 解答 年宣传费x为何值时 年利润的预报值最大 附 对于一组数据 u1 v1 u2 v2 un vn 其回归直线v u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 解答 解 根据 2 的结果知 年利润z的预报值 故年宣传费为46 24千元时 年利润的预报值最大 反思
8、与感悟 求非线性回归方程的步骤 1 确定变量 作出散点图 2 根据散点图 选择恰当的拟合函数 3 变量置换 通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题 并求出线性回归方程 4 分析拟合效果 通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果 5 根据相应的变换 写出非线性回归方程 跟踪训练3 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点 数值如下表 试建立y与x之间的回归方程 x0 250 5124 y1612521 解答 解 由数值表可作散点图如图 由置换后的数值表作散点图如右 根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系 t4210 50 25 y1612521 由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系
9、 列表如下 itiyitiyit 14166416 2212244 31551 40 5210 25 50 2510 250 062 5 7 753694 2521 312 5 达标检测 1 下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 A 角度和它的余弦值B 正方形的边长和面积 C 正n边形的边数和内角度数和D 人的年龄和身高 解析 函数关系就是变量之间的一种确定性关系 A B C三项中的两个变量之间都是函数关系 可以写出相应的函数表 达式 分别为f cos g a a2 h n n 2 D选项中的两个变量之间不是函数关系 对于年龄确定的人群 仍可以有 不同的身高 故选D 答案解析 12345 答
10、案解析 2 设有一个线性回归方程 2 1 5x 当变量x增加1个单位时 A y平均增加1 5个单位B y平均增加2个单位 C y平均减少1 5个单位D y平均减少2个单位 解析 由回归方程中两个变量之间的关系可以得到 12345 答案 3 如图四个散点图中 适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是 12345 A B C D 解析 解析 由图易知 两个图中样本点在一条直线附近 因此适合用线性 回归模型 4 某产品在某零售摊位的零售价x 单位 元 与每天的销售量y 单位 个 的统计资料如下表所示 x16171819 y50344131 A 51个 B 50个 C 54个 D 48个 解析 1234
11、5 答案 解答 5 已知x y之间的一组数据如下表 12345 x0123 y1357 x1y1 x2y2 x3y3 x4y4 0 1 1 3 2 5 3 7 34 解答 2 已知变量x与y线性相关 求出线性回归方程 12345 回归分析的步骤 1 确定研究对象 明确哪个变量是解释变量 哪个变量是预报变量 2 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图 观察它们之间的关系 如是否 存在线性关系等 3 由经验确定回归方程的类型 如果呈线性关系 则选用线性回归方程 4 按一定规则估算回归方程中的参数 5 得出结果后分析残差图是否有异常 个别数据对应的残差过大 或残差呈现 不随机的规律性等 若存在异常 则检查数据是否有误或模型是否合适等 规律与方法
